题目：
http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=36
1 The 3n + 1 problem
Time limit: 3.000 seconds
2 注意
- 中间的计算结果会大于INT_MAX，所以应该使用long long 来存储n
- 输入的i,j，不一定i < j
3 分析
本体考查的是穷举法+DP，还有能否优化程序提高效率的能力。
4 解法1-[笨法]
4.1 参考
4.2 耗时
0.965s
4.3 分析
直接穷举，不用动脑子
4.4 源码
#include <algorithm>
#include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char *argv[])
{
while ()
{
int i, j, _max = ;
cin >> i >> j;
if (cin.fail())
break; int temp_min = min(i, j);
int temp_max = max(i, j); for (int k = temp_min; k <= temp_max; ++k)
{
long long n = k;
int count = ;
while ( != n)
{
count++;
if ( == n % )
n = * n + ;
else
n = n / ;
} _max = max(_max, count);
}
cout << i << " " << j << " " << _max << endl;
} return ;
}
5 解法2-[穷举法+DP]
5.1 参考
http://blog.csdn.net/metaphysis/article/details/6431937
5.2 耗时
0.045s
5.3 分析
- 中间计算结果可以保存下来，供后续计算使用。
- n=3n+1可以优化为n += (n << 1) + 1;
- n=n/2 可以优化为n = n >> 1;
5.4 源码
#include <iostream>
#include <algorithm> #define MAXSIZE 1000000 using namespace std; int cache[MAXSIZE]; int recursion(long long _n); int
main(int argc, char *argv[])
{
int i, j;
while (cin >> i >> j)
{
int result = , _max = ;
const int begin = min(i, j);
const int end = max(i, j);
for (long long k = begin; k <= end; ++k)
{
result = recursion(k);
_max = max(_max, result);
} cout << i << " " << j << " " << _max << endl;
} return ;
}
int
recursion(long long _n)
{
int count = ; if ( == _n)
count = ;
else
{
count++;
if (_n & )
_n += (_n << ) + ;
else
_n = _n >> ; if (MAXSIZE <= _n)
{
// _n is too large to record the result in cache
count += recursion(_n);
}
else
{
// DP, cache the result to speed up
if ( == cache[_n])
{
count += recursion(_n);
cache[_n] = count;
}
else
count = cache[_n];
}
} return count;
}
6 解法3-[穷举法+DP]
6.1 参考
http://blog.csdn.net/metaphysis/article/details/6431937
6.2 耗时
0.052s
6.3 分析
6.4 源码
// The 3n+1 problem （3n+1 问题）
// PC/UVa IDs: 110101/100, Popularity: A, Success rate: low Level: 1
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2011-05-22
// UVa Run Time: 0.032s
//
// 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net。
//
// [问题描述]
// 考虑如下的序列生成算法：从整数 n 开始，如果 n 是偶数，把它除以 2；如果 n 是奇数，把它乘 3 加
// 1。用新得到的值重复上述步骤，直到 n = 1 时停止。例如，n = 22 时该算法生成的序列是：
//
// 22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1
//
// 人们猜想（没有得到证明）对于任意整数 n，该算法总能终止于 n = 1。这个猜想对于至少 1 000 000
// 内的整数都是正确的。
//
// 对于给定的 n，该序列的元素（包括 1）个数被称为 n 的循环节长度。在上述例子中，22 的循环节长度
// 为 16。输入两个数 i 和 j，你的任务是计算 i 到 j（包含 i 和 j）之间的整数中，循环节长度的最大
// 值。
//
// [输入]
// 输入每行包含两个整数 i 和 j。所有整数大于 0，小于 1 000 000。
//
// [输出]
// 对于每对整数 i 和 j，按原来的顺序输出 i 和 j，然后输出二者之间的整数中的最大循环节长度。这三
// 个整数应该用单个空格隔开，且在同一行输出。对于读入的每一组数据，在输出中应位于单独的一行。
//
// [样例输入]
// 1 10
// 100 200
// 201 210
// 900 1000
//
// [样例输出]
// 1 10 20
// 100 200 125
// 201 210 89
// 900 1000 174
//
// [解题方法]
// 计算每个数的循环节长度，求给定区间的最大值。
//
// 需要注意：
// 1. 中间计算过程会超过 int 或 long （如果 int 或 long 型均为 4 字节存储空间） 型数据所能
// 表示的范围，故需要选择 long long （8 字节存储空间）型整数（除非你使用的算法在做乘的时候不
// 使用一般的乘法，而是使用替代方法实现原数的三倍加一）。
// 2. 输入时可能较大的数在前面，需要调整顺序，这个是导致算法正确却 WA 的重要原因。
// 3. 采用填表的方法保存既往计算结果，可以显著减少计算时间。
//
// 从网络上看了许多别人的解题方案，大多数都是忽略了第一点，求循环节长度的过程中，选择了 int 或
// long （按 32 位 CPU 来假定，4 字节存储空间）类型的数据，当计算 （n * 3 + 1） 时会超出 32
// 位整数的表示范围而得到错误答案，只不过 Programming Challenges 和 UVa 上的测试数据不是很强，
// 所以尽管不完善但都会获得 AC。在 1 - 999999 之间共有 41 个数在中间计算过程中会得到大于 32 位
// 无符号整数表示范围的整数，当测试数据包含这些数时，选用 int 或 long 类型有可能会得到错误的答案。
//
// 在中间计算过程中会超过 32 位整数表示范围的整数（括号内为循环节长度）：
// 159487（184） 270271（407） 318975（185） 376831（330） 419839（162）
// 420351（242） 459759（214） 626331（509） 655359（292） 656415（292）
// 665215（442） 687871（380） 704511（243） 704623（504） 717695（181）
// 730559（380） 736447（194） 747291（248） 753663（331） 763675（318）
// 780391（331） 807407（176） 822139（344） 829087（194） 833775（357）
// 839679（163） 840703（243） 847871（326） 859135（313） 901119（251）
// 906175（445） 917161（383） 920559（308） 937599（339） 944639（158）
// 945791（238） 974079（383） 975015（321） 983039（290） 984623（290）
// 997823（440） #include <iostream> using namespace std; #define min(a, b) ((a) <= (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) >= (b) ? (a) : (b)) #define MAXSIZE 1000000 int cache[MAXSIZE]; // 计算循环节长度。
int counter(long long number)
{
if (number == )
return ; // 模 2 计算可用与计算代替，除 2 计算可用右移计算代替。
if (number & )
number += (number << ) + ;
else
number >>= ; // 若 number 在缓存范围内则根据情况取用。
if (number < MAXSIZE )
{
if (!cache[number])
cache[number] = counter(number);
return + cache[number];
} return + counter(number);
} int main(int ac, char *av[])
{
// 对于 GUN C++ 编译器，使用默认参数，在编译时会自动将全局数组 cache 中未初始化
// 的元素初始化为 0，故可以不需要显式的进行初始化的工作。对于其他编译器应该根据情况调整。
//
// memset(cache, 0, sizeof(cache));
//
int first, second, start, end; while (cin >> first >> second)
{
// 得到给定范围的上下界。
start = min(first, second);
end = max(first, second); // 查找最大步长值。
int result = , steps;
for (int i = start; i <= end; i++)
if ((steps = counter(i)) > result)
result = steps; // 输出。
cout << first << " " << second << " " << result << endl;
} return ;
}