先放上效果
惊现塞拉酱
算法是Weta Digital根据siggraph2003的论文加以改进，改进之前使用的是Kajiya and Kay’s 模型，它能量不守恒，也就是说不是基于物理的，不准确
电镜下真实头发丝纤维的照片，我们发现上面有很多重叠的角质层叫做毛小皮也叫毛鳞片，他们相对根部的倾斜角度大约为3°，近似模型如下图
头发纤维的模型
R为反射（reflection），T为穿透（transmission），也就是折射
这里假设光有三种传播方式R， TT， TRT
R是直接反射，
TT是经过两次折射
TRT是穿透（折射）进头发内部，在头发内部进行反射，在穿透（折射）出，详细如图
人头发纤维主要由两部分组成：表皮与皮质。表皮作为外鞘保护内部皮质层，在光散射方面表皮很重要，因为他是折射的边缘，
头发核心部有颜色的东西叫做髓质，在皮质与髓质中的色素决定了头发的颜色，
我们研究头发的光学属性有两种要素：1.折射参数η（大约为1.55）2.横截面的吸收率σa
几何图如上图，
头
发方向从根部到尖部，我们假定u是头发的tan值，向量v和w是一个右手标准正交基，光线入射方向为ωi，散射出的光的方向为ωr，角度分别为
θi，θr（0°垂直于头发，u为90°）。围绕着头发的方位角表示为φi和φr（v为0°w为+90°），差角(θi-θr)/2表示为θd相关方位角
为（φr-φi）/2表示为φd。φr-φi表示为φ。平均值θh = (θi+θr)/2为半角。
头发的吸光性主要取决于真黑色素（eumelanin）和伪黑色素（pheomelanin），他们的浓度我们分别定义为ρe和ρp，他们的吸收率分别为σa，e和σa，p，光谱吸收率为μa = ρeσa，e + ρpσa，p。
光线离开头发前变化（折射，反射）次数为p。p ∈ {R = 0, TT = 1, TRT = 2, TRRT = 3, ...}
总反射函数S是所有的纵向散射（longitudinal scattering）函数Mp 和方位角散射函数Np之积的和
我们的最终目标就是把0-3的p所有的S相加，也就是R, TT, TRT , TRRT所有光线之和。
纵向散射（longitudinal scattering）
接下来是高斯Mp纵向散射（longitudinal scattering）函数的求法。
在头发是完美圆弧的光滑表面的情况下θr = −θi，如图所示
在光滑的表面反射，形成一个单一的锥形（左图）。因为表面粗糙，Mp模拟了一个没有高光的表面，这种像锥形一样的散射会被缩放，更偏向于法平面（右图）。光散射范围更宽，能量也随之减少。
因为表面粗糙而不能产生完美反射的高光，Marschner使用了半角的高斯函数来求Mp
inline fixed G(fixed beta, fixed theta)
{
return pow(E, -(theta*theta) / (2 * beta * beta)) / (sqrt(2 * PIE)* beta); }
G函数是一个以纵向倾角θ为参数的标准高斯函数，β是粗糙程度（在纵向的光滑锥形上的标准偏差角），αp是皮质层倾角的一个简单函数。但是求得的Mp能量不守恒，有如下原因
1. g函数中的θ ∈ {−∞,∞}，但是θh ∈{−π/2,π/2}。使用θh代替θ会使反射能量增倍。
2. 当θi = −θr时，从锥形高光偏光−θi到θr涉及到缩放锥形。在Marschner中只有大约1/cos ²θd
3. 偏转光照角度移动了相当大的能量导致成角大于θ ∈{−π/2,π/2}（角过大，永远不会接收到，导致能量损失）
我们使用一种能量守恒的Mp
这种方法在球形重新分配反射角度，使用球形高斯卷积（spherical- Gaussian convolution）得到
G经过一系列的变形化简得到最终的Mp：
Mp = (1 / ((pow(E, V) - pow(E, -V))*V))*pow(E, (sin(-Theta_i)*sin(Theta_r) / V))*I0(cos(-Theta_i)*cos(Theta_r) / V);
在这里v = β²是粗糙度的平方
I0函数为第一类贝塞尔函数
得到的能量守恒的纵向散射曲线如下
锥形高光是不对称的，off-specular peak近似于二维BRDF所有粗糙度是能量守恒的
方位角散射（Azimuthal Scattering）
接下来计算方位角散射（Azimuthal Scattering）Np
Marschner利用在发丝是光滑圆情况下的Bravais特性，研究在发丝纤维内部的方位角散射。
修正折射指数η’
方位角改变方向Φ与在发丝中的偏移h ∈ {−1,1}和p值有关，反射模式为：
γi = arcsin(h) ， γt = arcsin(h/η’ )
由于h不可求，所以我们采用另一种可以模拟h的方法
Marschner使用立方近似来模拟h，但是尚未验证其准确性，当p值较大或反射指数较低时（头发在水中）
粗糙度方位角散射（Roughened Azimuthal Scattering）函数Np
我们用高斯分布模拟一个变形法平面表面粗糙度的效果。在发丝纤维中的每一个偏移h 产生了一个方位角的连续的分布Dp(φ−Φ(p,h))，这个分布是由φ中的高斯和光滑头发中的离散方位角Φ(p,h)产生的。如下图所示：
粗糙离散角散射（TT）：在光滑发丝上的偏移h能产生确定的方位角Φ(p,h)，可以求出方位角的高斯分布Dp(φ−Φ(p,h))。
全部的出射光线集成在一起：
A(p,h)是光线吸收和菲涅尔产生的衰减。我们使用一个新的标准高速分布函数Dp称之为Gaussian detector
for (fixed i = -1; i < 1; i += 0.1)
{
Mu_a_d = Mu_a / cos(i / Eta_d);
ref_1 = acos(cos(Theta_d) * cos(asin(i)));
f = -_SC + (1 + _SC)*pow(2, -10 * dot(ref_1, _Eta));
T = exp(-2 * Mu_a_d*(1 + cos(2 * asin(i / Eta_d))));
A = pow((1 - f), 2) * pow(f, p - 1) * T; // Np += A * Dp(Phi - Phi_p_h(p, i, Eta_d));
Np += A * Dp(Phi - Phi_p_h(i, Eta_d)); }
Np *= 0.5;
到此我们所有公式全部完事，我们可以用for循环累加不同p值的S得到最终结果
经过论文中的测量σa,e = {0.419,0.697,1.37}σa,p ={0.187,0.4,1.05}得到结果相对真实。
上图论文中的实现结果
博主目前能力不够不能在Unity中弄出这样的头发（感觉他这个头发像是曲面细分生成的），只能用个好一点的模型来凑数了：
本文为部分翻译的加上博主自身的理解与实现，如有不正确的地方欢迎批评指正
参考：
1. An Energy-Conserving Hair Reflectance Model
2. Light Scattering from Human Hair Fibers
-----by wolf96