原文:模糊集合和隶属度函数--AForge.NET框架的使用（一）
什么是AForge.NET？
AForge.NET是一个为开发人员和研究人员开发的框架，它可以用于计算机视觉，遗传算法，图像处理，神经网络，机器人学习与控制，机器学习和模糊系统。
AForge.NET的官方文档比较丰富，网上也有一些相关文章，但是多是关于视觉和神经网络的，而我个人对模糊系统比较感兴趣，故写下自己的一些感受。
模糊系统和模糊理论简述
模糊系统主要是区别于经典系统（或称为常规系统）。在研究人机系统，管理系统，特别是经济和社会系统时，由于加入人的逻辑、推理、判断，很多决策很难做到完全精确，这些和人有关的系统就拥有了某种模糊性。
在常规系统中，如果一个系统在某刻的状态和输入一旦决定，下个时刻的状态和输出就可以确定。如果下一个状态不能确定，但是可以给出概率分布，就成为随机系统。如果概率分布都不能给出，但是可以给出所有可能状态的集合，而且所有可能状态的集合使用模糊集合来表示，就成为模糊系统。
客观世界中普遍存在着模糊现象，比如“年轻人”和“老年人”就是模糊概念，它们没有明确内涵和外延，但是使用这些概念时却很少产生误解和歧义。可以说值逻辑只是理想世界的模型，而不是现实世界的模型。
隶属度函数（Membership Function）和模糊集合（Fuzzy sets）
隶属度函数是模糊系统的数学基础，它突破了经典集合理论的局限，模糊概念的定量表示成为可能。
棕色的曲线就是一个隶属度函数，0是不属于，1是完全属于。由于模糊性，所以用[0,1]上的数代替0和1。
而这个值就是就是属于模糊集合的程度。
而一个模糊集合可以分为两个部分，其中一个成为core，它是一个每个X的隶属度都是1的宽松集合。
还有一部分成为boundary，它包含了所有隶属度在0,1之间的元素。
隶属度函数的选择主要由模糊集合决定。如果某个集合含有大量的值或者它是连续的，那么一个参数化表示的隶属度函数是适合的，一般分段的线性隶属度函数（Piecewise linear membership functions）是比较好的，它简单而且在计算上是高效的。较常用的是梯形或者三角形，由4或3个参数定义。
以温度为例，在实际生活中我们常说多少度，冷不冷。多少度可以是一个确定的数值或者区间，但是冷不冷就不能固定化，很难找到固定的爆破值。一般可以大致成为冷，暖和，热。
可以认为该隶属度函数为A(x)=暖和。
这是热。
AForge.NET表示模糊集合和隶属度函数
需要用到到AForge，AForge.Fuzzy和AForge.Controls。
AForge是核心类，AForge.Fuzzy有关模糊系统的，而AForge.Controls是一些控件，比较常用的是表格（chart）控件。
可以去http://code.google.com/p/aforge/下载，然后引用需要的。我直接用的NuGet。
AForge.Fuzzy在NuGet没有哈。
PiecewiseLinearFunction类无疑是最灵活的，但是如果隶属度函数是梯形或者三角形，有个更快捷的类可供使用：TrapezoidalFunction。
比如我们要建立一个梯形的隶属度函数，如果：
有4个点要注意，（10,0）和（40,0），它们是boundary的边界。（20,0）和（30,0）是core的边界。
TrapezoidalFunction functionCool = new TrapezoidalFunction(, , , );
FuzzySet fsCool = new FuzzySet("COLD", functionCool);
通过FuzzySet.GetMembership(i)获取隶属度。然后给chart控件一个二维数组就可以绘制了。
double[,] coolValues = new double[, ];
for (int i = ; i < ; i++)
{
coolValues[i, ] = i;
coolValues[i, ] = fsCool.GetMembership(i);
}
chart.UpdateDataSeries("COLD", coolValues);
效果：
当然缺失一半边界的函数也是常用的
关键点是（30,0）和（40,0）。
TrapezoidalFunction functionCool = new TrapezoidalFunction(,,TrapezoidalFunction.EdgeType.Right);
FuzzySet fsCool = new FuzzySet("WARM", functionCool);
double[,] coolValues = new double[, ];
for (int i = ; i < ; i++)
{
coolValues[i, ] = i;
coolValues[i, ] = fsCool.GetMembership(i);
}
chart.UpdateDataSeries("WARM", coolValues);
效果：
三角形的函数：
TrapezoidalFunction functionCool = new TrapezoidalFunction(,,);
当然PiecewiseLinearFunction可以有更丰富的表现，只需制定其中的关键点就可以构成很多函数了。
AForge.Point[] points = new AForge.Point[];
points[] = new AForge.Point(, );
points[] = new AForge.Point(, 0.8f);
points[] = new AForge.Point(, 0.9f);
points[] = new AForge.Point(, );
points[] = new AForge.Point(, 0.1f);
points[] = new AForge.Point(, );
PiecewiseLinearFunction membershipFunction = new PiecewiseLinearFunction(points);
FuzzySet fsCool = new FuzzySet("HOT", membershipFunction);
double[,] coolValues = new double[, ];
for (int i = ; i < ; i++)
{
coolValues[i, ] = i;
coolValues[i, ] = fsCool.GetMembership(i);
}
chart.UpdateDataSeries("HOT", coolValues);
效果图:
还有一个特别的隶属度函数：SingletonFunction。它只要用于经典数值。
SingletonFunction membershipFunction = new SingletonFunction();
