给定x,求\(a_1+a_2+...+a_k=x^x\ mod\ 1000\)的正整数解解的组数,对于100%的数据，k≤100，x≤2^31-1。
解
显然x是可以快速幂得到答案的，而该问题显然是组合计数的问题，换一种解释即\(b=x^x\)个相同的数能怎样放进k个有标号盒子。
思路一
而无法解决无标号放入有标号。于是逆向思维，把有标号盒子放入无标号\(b\)个数，有标号盒子可以重复放，无标号$b数个只能被放一次，因为是正整数的缘故，所以盒子必须保证放过，故事先构造放满，再套用可重组合公式，有
\[C_{k+b-k-1}^{k-1}=C_{b-1}^{k-1}
\]
\]
思路二
注意到组合问题很难解决，故考虑排列，而这又是划分问题，故考虑全排列划分模型，即有k-1个0与b个1进行全排列，0去划分1,但是注意到要的是正整数解，于是0之间必须有1，于是事先填好1，有
\[\frac{(k-1+b-k)!}{(k-1)!(b-k)!}=C_{b-1}^{k-1}
\]
\]
得到公式后根据所得条件按质因数分解型的阶乘高精处理即可。
参考代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define yyb 1000
using namespace std;
struct lll{
short num[5000];
il lll(){num[0]=1;}
il void clear(){memset(num,0,sizeof(num)),num[0]|=true;}
template<class free>
il void operator=(free x){
num[0]=0;
while(x)num[++num[0]]=x%10,x/=10;
}
il lll operator*(lll x){
lll y;y.clear();
for(ri int i(1),j,k;i<=num[0];++i){
k=0;
for(j=1;j<=x.num[0];++j)
y.num[i+j-1]+=num[i]*x.num[j]+k,
k=y.num[i+j-1]/10,y.num[i+j-1]%=10;
y.num[i+x.num[0]]+=k;
}y.num[0]=num[0]+x.num[0];
while(!(y.num[y.num[0]])&&y.num[0]>1)--y.num[0];
return y;
}template<class free>
il lll operator^(free y){
lll x(*this),ans;ans=1;
while(y){
if(y&1)ans=ans*x;
x=x*x,y>>=1;
}return ans;
}
il void print(){
for(ri int i(num[0]);i;--i)putchar(num[i]+48);
}
};
lll xdk[250];
bool check[1100];
int prime[250],sp[250],tot;
il int pow(int,int);
il void c(int,int),sieve(int);
int main(){
int k,x;
scanf("%d%d",&k,&x),x=pow(x%yyb,x);
sieve(x-1),c(x-1,k-1);
return 0;
}
il void sieve(int n){
for(ri int i(2),j;i<=n;++i){
if(!check[i])prime[++tot]=i,xdk[tot]=i;
for(j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;++j){
check[i*prime[j]]|=true;
if(!(i%prime[j]))break;
}
}
}
il void c(int n,int r){
if(n<r)return (void)(puts("0"));
int i,j;lll ans;ans=1;
for(i=1;i<=tot;++i)
for(j=n;j;j/=prime[i])sp[i]+=j/prime[i];
for(i=1;i<=tot;++i)
for(j=r;j;j/=prime[i])sp[i]-=j/prime[i];
for(i=1;i<=tot;++i)
for(j=n-r;j;j/=prime[i])sp[i]-=j/prime[i];
for(i=1;i<=tot;++i)ans=ans*(xdk[i]^sp[i]);ans.print();
}
il int pow(int x,int y){
int ans(1);while(y){
if(y&1)ans=ans*x%yyb;
x=x*x%yyb;y>>=1;
}return ans;
}