一、寻找和为定值的两个数
1、若无序，先排序后二分，时间复杂度总为O（n*logn），空间复杂度为O（1）
2、扫描一遍X-S[i] 映射到一个数组或构造hash表，时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（n）
3、两个指针两端扫描（若无序，先排序后扫描），时间复杂度最后为：有序 O（n），无序O（n*logn+n）=O（n*logn），空间复杂度都为O（1）。
二、寻找和为定值的多个数
回溯法
下面是n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间：
递归回溯：
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。
void backtracking (int t)
{
if (t > n) {
// 到达叶子结点，将结果输出
output (x);
}
else {
// 遍历结点t的所有子结点，即枚举t所有可能的路径
// f(n,t)=下界;g(n,t)=上界;
for (int i = f(n,t); i <= g(n,t); i ++ ) {//
x[t] = h[i];//满足界限函数和约束函数
// 如果不满足剪枝条件，则继续遍历，进入下一层
if (constraint (t) && bound (t))
backtrack (t + 1);
}
}
}
t是递归深度；
n是深度控制，即解空间树的的高度；
可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；
实例：
问题描述：有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。
今天下午的算法复习课，老师提的各种算法经典问题时，出现频率就是01背包问题了！动态规划、回溯法、分支限界法，在贪心算法时也提到注意背包问题，当然01背包问题不能用贪心算法实现，不能保证能得到最优解。回溯法是最近学的，所以试着用C语言将其实现了下，下面作以分析，后期将会继续用其他两种算法实现01背包问题，并做比较。
回溯法：01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去，剪枝啦啦！
上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值
double w[100];//各个物品的重量
double cw = 0.0;//当前背包重量
double cp = 0.0;//当前背包中物品价值
double bestp = 0.0;//当前最优价值
double perp[100];//单位物品价值排序后
int order[100];//物品编号
int put[100];//设置是否装入
//按单位价值排序
void knapsack()
{
int i,j;
int temporder = 0;
double temp = 0.0;
for(i=1;i<=n;i++)
perp[i]=v[i]/w[i];
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
for(j=i+1;j<=n;j++)
if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
{
temp = perp[i];
perp[i]=perp[i];
perp[j]=temp;
temporder=order[i];
order[i]=order[j];
order[j]=temporder;
temp = v[i];
v[i]=v[j];
v[j]=temp;
temp=w[i];
w[i]=w[j];
w[j]=temp;
}
}
}
//回溯函数
void backtrack(int i)
{
double bound(int i);
if(i>n)
{
bestp = cp;
return;
}
if(cw+w[i]<=c)
{
cw+=w[i];
cp+=v[i];
put[i]=1;
backtrack(i+1);
cw-=w[i];
cp-=v[i];
}
if(bound(i+1)>bestp)//符合条件搜索右子数
backtrack(i+1);
}
//计算上界函数
double bound(int i)
{
double leftw= c-cw;
double b = cp;
while(i<=n&&w[i]<=leftw)
{
leftw-=w[i];
b+=v[i];
i++;
}
if(i<=n)
b+=v[i]/w[i]*leftw;
return b;
}
int main()
{
int i;
printf("请输入物品的数量和容量：");
scanf("%d %lf",&n,&c);
printf("请输入物品的重量和价值：");
for(i=1;i<=n;i++)
{
printf("第%d个物品的重量：",i);
scanf("%lf",&w[i]);
printf("价值是：");
scanf("%lf",&v[i]);
order[i]=i;
}
knapsack();
backtrack(1);
printf("最有价值为：%lf\n",bestp);
printf("需要装入的物品编号是：");
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(put[i]==1)
printf("%d ",order[i]);
}
return 0;
}
算法复杂度分析：上界函数bound()需要O(n)时间，在最坏的情况下有O(2^n)个右子结点需要计算上界，回溯算法backtrack需要的计算时间为O(n2^n)。