「TJOI 2018」教科书般的*

「TJOI 2018」教科书般的*

题目描述

小豆喜欢玩游戏，现在他在玩一个游戏遇到这样的场面，每个怪的血量为 \(a_i\) ，且每个怪物血量均不相同, 小豆手里有无限张“*”。

*的效果是对所有的怪造成 \(1\) 点伤害，如果有怪死亡，则再次施放该法术。我们认为血量为 \(0\) 的怪物死亡。

小豆使用一张“*”会获得一定的分数，分数计算如下，在使用一张“*”之后，每一个被*造成伤害的怪会产生 \(x^k\) ，其中 \(x\) 是造成伤害前怪的血量为 \(x\) 和需要杀死所有怪物所需的“*”的张数 \(k\) 。

\(N \leq 1000, K \leq 15\)

解题思路 :

考虑将没有出现的血量集合 \(m_i\) 从小到大排序，观察发现对于每一个 \(m_i\) ，其会使得所有血量 \(-m_i\)

设此时场上的最大血量为 \(c\) ，那么其能产生的贡献就是 \((\sum_{j=1}^{c} j^k) - \sum_{j=i}^{m} m_i\ ^k\)

由于 \(m\) 很小，计算后面式子的复杂度可以忽略不计，问题就转化为快速计算前面的式子

观察发现前面的式子其实就是一个 \(k + 1\) 次的多项式，暴力插值求解即可

/*program by mangoyang*/
#include<bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
	int f = 0, ch = 0; x = 0;
	for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
	if(f) x = -x;
}
#define int ll
const int Mod = 1000000007;
vector<int> x, y;
int a[105], n, m;
inline int Pow(int a, int b){
	int ans = 1; a %= Mod;
	for(; b; b >>= 1, a = a * a % Mod)
		if(b & 1) ans = ans * a % Mod;
	return ans;
}
inline void Prework(int k){
	x.clear(), y.clear();
	for(int i = 1, now = 0; i <= k + 2; i++)
		x.push_back(i), y.push_back((now += Pow(i, k)) %= Mod);
}
inline int calc(int now){
	int res = 0;
	for(int i = 0; i < x.size(); i++){
		int tmp = y[i];
		for(int j = 0; j < x.size(); j++) if(j != i)
			(tmp *= (now - x[j]) % Mod * Pow(x[i] - x[j], Mod - 2) % Mod) %= Mod;
		(res += tmp) %= Mod;
	}
	return res;
}
inline void solve(){
	int ans = 0, now = 0;
	read(n), read(m), Prework(m + 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++) read(a[i]);
	sort(a + 1, a + m + 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		(ans += calc(n - now)) %= Mod;
		for(int j = i; j <= m; j++) (ans -= Pow(a[j] - now, m + 1)) %= Mod;
		now = a[i];
	}
	(ans += calc(n - now)) %= Mod;
	cout << ((ans % Mod) + Mod) % Mod << endl;
}
signed main(){
	int T; read(T); while(T--) solve();
	return 0;
}