动态规划方法生成最优二叉查找树

时间:2020-11-28 20:20:14

1、概念引入

  基于统计先验知识,我们可统计出一个数表(集合)中各元素的查找概率,理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条(单字、词组等)的先验概率,针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则,以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题:查找过程中键值比较次数最少,或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码(键值)。为解决这样的问题,显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。
 
2、问题给出
  n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T 1n ,求这棵树的平均查找次数C[1, n](耗费最低)。换言之,如何构造这棵最优BST,使得C[1, n] 最小。
 
3、分段方法
   
    动态规划法策略是将问题分成多个阶段,逐段推进计算,后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题,利用减一技术和最优性原则,如果前n-1个节点构成最优BST,加入一个节点 an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归,问题可解。自底向上计算:C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点,它的左子树为Tik-1,右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。(根的生成过程)
 
 4、递推计算式
 

动态规划方法生成最优二叉查找树

 

  5、基本算法如下
  

动态规划方法生成最优二叉查找树

6、具体实现代码(其中所有数据都存放在2.txt中,其内容为:

动态规划方法生成最优二叉查找树

其中5表示有5个节点,其他数据表示各个节点出现的概率:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 9999
void OptimalBST(int,float*,float**,int**);
void OptimalBSTPrint(int,int,int**);
void main()
{
    int i,num;
    FILE *point;
    //所有数据均从2.txt中获取,2.txt中第一个数据表示节点个数;从第二个数据开始表示各个节点的概率
    point=fopen("2.txt","r");
    if(point==NULL)
    {
        printf("cannot open 2.txt.\n");
        exit(-1);
    }
    fscanf(point,"%d",&num);
    printf("%d\n",num);
    float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
    for(i=1;i<num+1;i++)
        fscanf(point,"%f",&p[i]);
    //创建主表;
    float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));
    for(i=0;i<num+2;i++)
        c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
    //创建根表;
    int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));
    for(i=0;i<num+2;i++)
        r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
    //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。
    OptimalBST(num,p,c,r);
    printf("该最优二叉查找树的期望代价为:%f \n",c[1][num]);
    //给出最优二叉查找树的中序遍历结果;
    printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为:");
    OptimalBSTPrint(1,4,r);

}
void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r)
{
    int d,i,j,k,s,kmin;
    float temp,sum;
    for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化
    {
    
        c[i][i-1]=0;
        c[i][i]=p[i];
        r[i][i]=i;
    }
    c[num+1][num]=0;
    for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列
    {
        for(i=1;i<=num-d;i++)
        {
            j=i+d;
            temp=max;
            for(k=i;k<=j;k++)//找最优根
            {
                if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp)
                {
                    temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
                    kmin=k;
                }
            }
            r[i][j]=kmin;//记录最优根
            sum=p[i];
            for(s=i+1;s<=j;s++)
                sum+=p[s];
            c[i][j]=temp+sum;
        }
    }
}
//采用递归方式实现最优根的输出,最优根都是保存在r[i][j]中的。。。
void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r)
{

    int k;
    if(first<=last)
    {
        k=r[first][last];
        printf("%d  ",k);
        OptimalBSTPrint(first,k-1,r);
        OptimalBSTPrint(k+1,last,r);
    }
}

7、最终运行结果:

动态规划方法生成最优二叉查找树

8、参考文献:

(1)算法导论

(2)数据结构 严蔚敏

(3)网上下载的一个ppt(算法设计与分析,第八章)