1、概念引入
基于统计先验知识,我们可统计出一个数表(集合)中各元素的查找概率,理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条(单字、词组等)的先验概率,针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则,以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题:查找过程中键值比较次数最少,或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码(键值)。为解决这样的问题,显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。
2、问题给出
n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T
1n ,求这棵树的平均查找次数C[1, n](耗费最低)。换言之,如何构造这棵最优BST,使得C[1, n] 最小。
3、分段方法
动态规划法策略是将问题分成多个阶段,逐段推进计算,后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题,利用减一技术和最优性原则,如果前n-1个节点构成最优BST,加入一个节点
an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归,问题可解。自底向上计算:C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点,它的左子树为Tik-1,右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。(根的生成过程)
4、递推计算式
5、基本算法如下
6、具体实现代码(其中所有数据都存放在2.txt中,其内容为:
其中5表示有5个节点,其他数据表示各个节点出现的概率:
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define max 9999 void OptimalBST(int,float*,float**,int**); void OptimalBSTPrint(int,int,int**); void main() { int i,num; FILE *point; //所有数据均从2.txt中获取,2.txt中第一个数据表示节点个数;从第二个数据开始表示各个节点的概率 point=fopen("2.txt","r"); if(point==NULL) { printf("cannot open 2.txt.\n"); exit(-1); } fscanf(point,"%d",&num); printf("%d\n",num); float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1)); for(i=1;i<num+1;i++) fscanf(point,"%f",&p[i]); //创建主表; float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2)); for(i=0;i<num+2;i++) c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1)); //创建根表; int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2)); for(i=0;i<num+2;i++) r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1)); //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。 OptimalBST(num,p,c,r); printf("该最优二叉查找树的期望代价为:%f \n",c[1][num]); //给出最优二叉查找树的中序遍历结果; printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为:"); OptimalBSTPrint(1,4,r); } void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r) { int d,i,j,k,s,kmin; float temp,sum; for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化 { c[i][i-1]=0; c[i][i]=p[i]; r[i][i]=i; } c[num+1][num]=0; for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列 { for(i=1;i<=num-d;i++) { j=i+d; temp=max; for(k=i;k<=j;k++)//找最优根 { if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp) { temp=c[i][k-1]+c[k+1][j]; kmin=k; } } r[i][j]=kmin;//记录最优根 sum=p[i]; for(s=i+1;s<=j;s++) sum+=p[s]; c[i][j]=temp+sum; } } } //采用递归方式实现最优根的输出,最优根都是保存在r[i][j]中的。。。 void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r) { int k; if(first<=last) { k=r[first][last]; printf("%d ",k); OptimalBSTPrint(first,k-1,r); OptimalBSTPrint(k+1,last,r); } }
7、最终运行结果:
8、参考文献:
(1)算法导论
(2)数据结构 严蔚敏
(3)网上下载的一个ppt(算法设计与分析,第八章)