教材分析：对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到
本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b ；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN =b这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
1)已知a, b,求N乘方运算
2)已知b, N,求a开方运算
3)已知a, N,求b对数运算
“對數”(logarithm)一詞源自於希臘，表
示思想的文字或記號，也可作“計算”或
“比率”。由於16世紀的天文星象的觀測、
航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐
雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減
的運算工具，即為對數。
而對數的創始人是蘇格蘭數學家那皮爾。於
是我們用了logarithm這個英文單字，取其前
三個字母log來表示 中，與指數式中其
他數值之間的關係。例如： ，即是2的3
次方是8，反之以2為底數時，多少次方可得
到8呢？這個3的值就是對數，作
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在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。
过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发财了？
财主算了算，结算3次，利率为 ，1元钱一年到期的本利和是： ，
结算4次，1元钱到一年时还 。
财主还想，一年结算1000次，其利息是：
这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有：
。
这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道， 的值是随n的增大而增大，但增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把 极限记作e，e=2.71828…，即自然对数的底。
n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……
2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了
其值是2.71828……，是这样定义的：
当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
你看，随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.718281828……这个无限不循环小数
| 延长天文学家寿命的发现——纳皮尔发现对数 |
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| 自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。印度阿拉伯记数法、十进小数和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件。其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。
他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。 2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非。1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048…… 他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，例如，上一排中的两个数2、5之和为7，下一排对应的两个数4、32之积128正好就是2的7次方。实际上，用后来的话说，下一列数以2为底的对数就是上一列数，并且史蒂非还知道，下一列数的乘法、除法运算，可以转化为上一列数的加法、减法运算。例如，23×25＝23＋5，等等。 就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了。在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。但他的发现为对数的产生奠定了基础。
纳皮尔于1550年生于苏格兰的爱丁堡。他家是苏格兰的贵族，他13岁入圣安德卢斯大学学习，后来留学欧洲，1571年回到家乡。纳皮尔是一位地主，他曾在自己的田地里进行肥料施肥试验，研究过饲料的配合，还设计制造过抽水机。他的兴趣十分广泛，一方面热衷于政治和宗教斗争，一方面投身于数学研究。他在球面三角学的研究中有一系列突出的成果。 纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究。 纳皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减。同时，令点Q从C出发，沿CD作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。
他研究对数用了20多年时间，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。 有趣的是同一时刻瑞士的一个钟表匠比尔吉也独立发现了对数，他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它。直到1620年，在开普勒的恳求下才发表出来，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了。
当时，人们并没有把对数定义为幂指数，直到17世纪末才有人认识到对数可以这样来定义。1742年，威廉斯把对数定义为指数并进行系统叙述。现在人们定义对数时，都借助于指数，并由指数的运算法则推导出对数运算法则。可在数学发展史上，对数的发现却早于指数，这是数学史上的珍闻。 解析几何与微积分出现以后，人们在研究曲线下的面积时，发现了面积与对数的联系。比如，圣文森特的格雷果里在研究双曲线xy＝1下的面积时，发现面积函数很像一个对数，后来他的学生沙拉萨第一个把面积解释为对数。但当时并没有认识到对数和双曲线下面积之间的确切关系，更没有认识到自然对数就是以e为底的对数。 后来，牛顿也研究过此类问题。欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足ay=x的指数y。并对指数函数和对数函数作了深入研究。而复变函数的建立，使人们对对数有了更彻底的了解。
在计算机出现以前，对数是十分重要的简便计算技术，曾得到广泛的应用。对数计算尺几乎成了工程技术人员、科研工作者离不了的计算工具。直到20世纪发明了计算机后，对数的作用才为之所替代。但是，经过几代数学家的耕耘，对数的意义不再仅仅是一种计算技术，而且找到了它与许多数学领域之间千丝万缕的联系，对数作为数学的一个基础内容，表现出极其广泛的应用。 1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，尊崇世界上“十个最重要的数学公式”。每张邮票以显著位置标出一个公式并配以例证，其反面还用西班牙文对公式的重要性作简短说明。有一张邮票是显示纳皮尔发现的对数。 对数、解析几何和微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，恩格斯赞誉它们是“最重要的数学方法”。伽利略甚至说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。”
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高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”
这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！
这个东西没有为什么，也不见得全世界的人都是按照我们的这种学法。为何就不能按照历史产生的顺序，先学习对数，然后根据需要再引入指数函数？因为我们现在的数学教育太注重表面的东西，而对数学的实质则挖掘得太少了。
为什么发明对数，因为当时人们认为乘除法运算太复杂，而加减法运算则简单，那能不能把乘除转化为加减运算呢？Napier想到了，这就是对数。我们学的时候，为什么就不能先把这个背景说出来，然后引出对数呢？因为我们现在的数学课程体系的原因，不可能按照这种思路来学。其实数学的发展顺序和学数学的顺序不一样，这是大家都有的一个共同问题，关键在于在学完数学之后一定要了解一下当时数学是怎么发展的。
对数的历史
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：
n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……
2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
以上谈的都是以10为底的对数，除此之外还有自然对数，这个名字是1610年伦敦的数学家司皮得尔在《新数学》里出现的。
我们知道，一般对数的底可以为任意不等于1的正数。即对数的底如果为超越数e(e=2.718)我们就把这样的对数叫作自然对数，用符号“LN”表示。在这里“1”是对数“logarithm"的第一个字母，“N”是自然“nature"的第一个字母，把两个字母合在一起，就表示自然对数。
自然对数的出现，给数学界带来了一场革命。
对数函数的历史：
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为
Nap．㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。
复数域的对数有定义
先看复指数
根据欧拉公式（欧拉对复指数的定义；这个公式被誉为数学界中最美妙的公式之一）为：
e^(iA)=cosA+isinA(e为自然底数，即e约为2.71828...；A为实数；事实上A为虚数亦可，但会导致cosA中A为复数，研究它比较费时，在此不作讨论）
那么根据这个公式，任何复数都对应着一个对数（包括负数都有！不过0就没有）
转换方式如下：
对复数z(z不为0)，考虑将它换算成三角形式z=r(cosA+isinA)
其中r为该复数的模长，r>0
那么我们对z取自然对数，就根据欧拉公式有
lnz=ln[r(cosA+isinA)]=lnr+ln(cosA+isinA)
=lnr+ln[e^(iA)]=lnr+iA
因此x=lnr+iA这就是z的自然对数