HDU 4978 计算 凸包

有以无限间隔$D$的水平线分割的平面，在上面随机投下一个圆，圆中有一些点，点之间两两成一条线段，问随机投下至少有一条线段于平行线相交的概率。

以下是不严(luan)谨(lai)的思路。

首先都知道对于任意长度$L$的线段随机投放在无数间隔为$D$的平面，其有相交情况的概率为$\frac{2L}{D\pi}$（浦丰投针）
首先考虑线段是垂直平行线的不会发生旋转（固定角度）其随机投放在平面上有交点的概率为$\frac{L}{D}$，
但是实际情况是线段会旋转,其对应在垂直平行线上的投影长度的期望为$\frac{2L}{\pi}$,重新代入到$L$就是上面那个概率公式，
现在由于圆内点两两间都有线段，要考虑圆内为一个整体，不妨直接拿多边形的边（因为其他线段的投影都在其投影内）来计算它们的投影长度的期望，得到的结果其实也就是点集凸包的周长除以$\pi$
然后代入:$\frac{c}{D\pi}$ ，会发现是个水题

/** @Date    : 2017-09-24 22:35:19
  * @FileName: HDU 4978 凸包 计算.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth ([e-mail])
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int ,int>
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;
const double Pi = acos(-1.0);
struct point
{
	double x, y;
	point(){}
	point(double _x, double _y){x = _x, y = _y;}
	point operator -(const point &b) const
	{
		return point(x - b.x, y - b.y);
	}
	double operator *(const point &b) const
	{
		return x * b.x + y * b.y;
	}
	double operator ^(const point &b) const
	{
		return x * b.y - y * b.x;
	}
};

double xmult(point p1, point p2, point p0)
{
    return (p1 - p0) ^ (p2 - p0);
}  

double distc(point a, point b)
{
	return sqrt((double)((b - a) * (b - a)));
}
int sign(double x)
{
	if(fabs(x) < eps)
		return 0;
	if(x < 0)
		return -1;
	else
		return 1;
}

////////
int n;
point stk[N];
point p[N];

int cmpC(point a, point b)//水平序排序
{
	return sign(a.x - b.x) < 0 || (sign(a.x - b.x) == 0 && sign(a.y - b.y) < 0);
}

int Graham(point *p, int n)//水平序
{
	sort(p, p + n, cmpC);
	int top = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		while(top >= 2 && sign(xmult(stk[top - 2], stk[top - 1], p[i])) < 0)
			top--;
		stk[top++] = p[i];
	}
	int tmp = top;
	for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
	{
		while(top > tmp && sign(xmult(stk[top - 2],stk[top - 1] ,p[i] )) < 0)
			top--;
		stk[top++] = p[i];
	}
	if(n > 1)
		top--;
	return top;
}

int main()
{
	int T;
	cin >> T;
	int c = 0;
	while(T--)
	{
		int n;
		double d;
		cin >> n >> d;
		double x, y;
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%lf%lf", &x, &y);
			p[i] = point(x, y);
		}
		int m = Graham(p, n);
		double ans = 0.0;
		stk[m++] = stk[0];//注意只有直线的情况
		for(int i = 0; i < m - 1; i++)
			ans += distc(stk[i], stk[i + 1]);
		printf("Case #%d: %.4lf\n", ++c, ans / d / Pi);
	}
    return 0;
}