已知\(a+b=1\),求\((a^3+1)(b^3+1)\)的最大值______
:
解答:
\[
\begin{align*}
(a^3+1)(b^3+1)
&=a^3+b^3+a^3+b^3+1\\
&=(a+b)^3(a^2+b^2-ab)+a^3b^3+1\\
&\overset{t=ab}{=}t^3-3t+2\\
&=(t-1)^2(t+2)\\
&=\dfrac{1}{2}(1-t)(1-t)(2t+4)\le4\\
\end{align*}\]
当\(t=-1\)即\(\{a,b\}=\{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\}\)
最后一步不等式用了三元的基本不等式。
评:很多同学有一个固定的思维,对于这类条件和问题都对称的题目的最值一定是在\(a=b\)的时候取到，对于这类学生此题分分钟打脸。事实上\(a=b=\dfrac{1}{2}\)时取到最小值.