CodeForces 785C Anton and Fairy Tale 二分

题意：

有一个谷仓容量为\(n\)，谷仓第一天是满的，然后每天都发生这两件事：

1. 往谷仓中放\(m\)个谷子，多出来的忽略掉
2. 第\(i\)天来\(i\)只麻雀，吃掉\(i\)个谷子

求多少天后谷仓会空

分析：

分类讨论：

1. \(n \leq m\)

每天都会把谷仓放满，所以第\(n\)后会变空

2. \(n > m\)

前\(m\)天后谷仓还一直都是满的
第\(m+1\)天后还剩\(n-m-1\)，第\(m+2\)天后还剩\(n-m-1-2\)
第\(m+i\)天后还剩\(n-m-\frac{i(i+1)}{2}\)
所以可以二分求出答案

注意到比较\(n-m>\frac{i(i+1)}{2}\)时，中间计算结果会溢出
所以可以通过除法来比较大小，令\(t=\frac{2(n-m)}{i(i+1)}\)

• \(t>1\)，有\(n-m>\frac{i(i+1)}{2}\)
• \(t=0\)，有\(n-m<\frac{i(i+1)}{2}\)
• \(t=1\)，这时\(i(i+1)\)的值不会太大，可以通过直接计算比较大小

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL n, m;

bool ok(LL x) {
    x -= m;
    LL t = n - m;

    t <<= 1;
    t /= x;
    t /= x + 1;

    if(t > 1) return false;
    if(!t) return true;
    return n - m == x * (x + 1) / 2;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    if(n <= m) {
        printf("%lld\n", n);
        return 0;
    }

    LL L = m + 1, R = n;
    while(L < R) {
        LL M = (L + R) / 2;
        if(ok(M)) R = M;
        else L = M + 1;
    }

    printf("%lld\n", L);

    return 0;
}