51Nod 1070 Bash游戏 V4(斐波那契博弈)

时间:2024-10-23 09:04:02

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1070

题意:
51Nod 1070 Bash游戏 V4(斐波那契博弈)

思路:

这个是斐波那契博弈,http://blog.****.net/acm_cxlove/article/details/7835016,关于斐波那契博弈的介绍,可以看看这篇博客。以下的内容便是转自这篇博客。

1、当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立。

2、假设当i<=k时,结论成立。

则当i=k+1时,f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆,简称k堆和k-1堆。

(一定可以看成两堆,因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1],则后手可以直接取完f[k],因为f[k] < 2*f[k-1])

对于k-1堆,由假设可知,不论先手怎样取,后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3,则这小堆所剩的石子数小于2y,即后手可以直接取完,此时x=f[k-1]-y,则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小,由数学归纳法不难得出,后者大。

所以我们得到,x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后,先手不能一下取完k堆,所以游戏规则没有改变,则由假设可知,对于k堆,后手仍能取到最后一颗,所以后手必胜。

即i=k+1时,结论依然成立。

对于不是FIB数,首先进行分解。

分解的时候,要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85:85在55和89之间,于是可以写成85=55+30,然后继续分解30,30在21和34之间,所以可以写成30=21+9,

依此类推,最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。(a1>a2>……>ap)

我们令先手先取完f[ap],即最小的这一堆。由于各个f之间不连续,则a(p-1) > ap  + 1,则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆,且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏(只有f[a(p-1)]这一堆石子,且后手先取)的必败态,即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知,对于以后的每一堆,先手都可以取到这一堆的最后一颗石子,从而获得游戏的胜利。

 #include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std; const int maxn=1e9+; int n;
int c[];
map<int,int> num; void init()
{
c[]=;
c[]=;
num[]=;
num[]=;
while(c[]<=maxn)
{
c[]=c[]+c[];
num[c[]]=;
c[]=c[];
c[]=c[];
}
} int main()
{
//freopen("D:\\input.txt","r",stdin);
init();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
if(num[n]) puts("B");
else puts("A");
}
}