[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

时间:2024-10-20 15:37:44

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10.3二重积分的换元积分法

在一元函数定积分的计算中,我们常常进行换元,以达删繁就简的目的,当然,二重积分也有换元积分的问题。

首先让我们回顾一下前面曾讨论的一个事实。

设换元函数 [转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,视其为一个由定义域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的映射.点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的象点为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,点x的象点为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,记

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则由[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。到点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的线段长为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的线段长为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,称[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。为映射[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。在点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。到点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的平均伸缩率。若[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。在点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。处可导,则

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[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。是映射[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。在点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。处的伸缩率。

对于由平面区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的映射[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。我们有如下结论:

引理 若变换[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。在开区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。存在连续偏导数,且雅可比行列式[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。。变换将[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上开区域变为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上开区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,其象点为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,则包含点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的面积微元[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。及与之相对应的包含点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的面积微元[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。之比是[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,即[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

下面给出引理3.1的说明,严格的证明从略。由图3。1所示,在[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。内作以点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。为顶点的矩形[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,而变换[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,将[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。分别变为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上的四点[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,矩形[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变为曲边四边形[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。。而曲边四边形[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的四个顶点的坐标由泰勒公式表示为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

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忽略高阶无穷小[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,曲边四边形[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。近似平行四边形,其面积

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在引理条件下,函数组[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,在[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的某邻域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。具有连续的反函数组[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

再根据9.1节性质1.2有[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。于是[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

定理3.1  若函数[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。在有界闭区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。连续,函数组将[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。一一对应地变换为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,且该函数组在[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。存在连续的偏导数,,则

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 用任意分法[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。将区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。分成[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。个小区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,其面积分别记为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。;变换[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,将分法[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。上的分法[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。分割成[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。个小区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,其面积分别记为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,由引理可知,对于[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,有

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在定理3.2的条件下,变换[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。在有界闭区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。上存在连续的反函数组[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,他们必在[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。上一致连续,所以当[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。时,必有又注意到函数[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的连续性,因而他在[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。上可积,于是在[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。中令[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,有[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。完成定理3。2的证明。

在二重积分的计算中,若被积函数为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的形式,或积分区域为所谓的圆形区域时,通常采用极坐标变换[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。它能使前者化简为一元函数[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

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后者若为图3.2所示的区域,利用极坐标变换能化为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上的[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。型区域。则积分[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

特别,极点在边界上的扇形区域,即[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,则积分

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极点在区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的内部,边界线是[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的区域,即[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。则积分

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[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。  作极坐标变换 [转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。将圆域D变换为矩形区域,

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。 [转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,于是用公式(3.5)得

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[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。 例3.2  计算[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,D是由

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。所围的区域。

 积分区域如图3.5所示,作极坐标变换,则D化为区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,其边界曲线为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,于是得

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例3.3 [转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。其中D是由[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。所围成的平面区域

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 区域D及[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。如图3.6所示,有[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。-[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=4

在极坐标系下,有[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。, 因此[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。于是[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。=4-[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

例3.4 计算[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,其中D是由曲线[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。所围成的有界区域.

由于积分区域D可表示为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。故替换

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,则积分区域变为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,在极坐标下

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

于是

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例3.5   计算[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

 由对称性,原积分

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其中[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。。作广义极坐标变换:[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变换为矩形区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。(图3.7)

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于是

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例3.6   求曲线[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。所围成区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。的面积

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解由二重积分的性质可知,区域的面积

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作变换:

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则这个变换[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上曲线[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面

上的曲线[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,于是它将区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变为

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上由[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。所未成的区域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。(图3.8 )。且

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

于是[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

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例3.7   计算[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

  作变换:[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,将[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变换为闭圆域[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,且

[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

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由对称性

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于是[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

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例3.8  计算[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。是由[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。所围成的区域。

 作变换:[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,则这个变换将[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。变换为[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。平面上的正方形区域(图3.9)。由于

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故 [转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。

又注意到[转]二重积分换元法的一种简单证明 (ps:里面的符号有点小错误,理解就好。。。,于是

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