前缀表达式（波兰表达式）、中缀表达式、后缀表达式（逆波兰表达式）
介绍
三种表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值，即数学表达式的求解。
前缀表达式
前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz，前缀表达式也称为“波兰式”。例如，- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。
中缀表达式
中缀表达式就是一般的算数表达式，操作符以中缀形式出现在操作数之间。
后缀表达式
后缀表达式指的是不包含括号，运算符放在两个运算对象的后面，所有的计算按运算符出现的顺序，严格从左向右进行（不再考虑运算符的优先规则）。
中缀表达式转前缀表达式
例如：对于中缀表达式(3+4)×5-6，其前缀表达式为- × + 3 4 5 6。前后缀表达式与中缀之间的转换关系，不在此赘述，在Seraphjin的博客中，通过二叉树的方式，很好地解释了这一内容。
除了该博客中所说的二叉树法，还可以通过栈方法，来实现二者的转换，具体步骤如下：
- 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
- 从右至左扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压入S2；
- 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
- 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
- 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
- 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复上述步骤，直到表达式的最左边；
- 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
- 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
前缀表达式的计算机求解
利用计算器对前缀表达式求解其算数值时，采用从左到右扫描的方法，遇到操作数，则将其入栈，遇到操作符，则从栈中弹出两个操作数，由于前缀操作符位于数字之前，因此，第二个弹出的操作数为被操作数。然后对两个操作数根据操作符做相应的操作。
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
中缀表达式转后缀表达式
表达式的转换，有二叉树法和栈方法，二叉树法不在此追述，详情见上文链接。
栈方法将中缀表达式转后缀表达式的方法如下所示：
- 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压入S2；
- 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
- 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
- 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
- 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复上述步骤，直到表达式的最右边；
- 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
- 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不 用逆序）。
后缀表达式在算数逻辑运算中的作用，以及简单计算器的C++实现
由上述内容可知，利用前缀或者后缀表达式，可以很好的利用计算器，解决日常中缀表达式的求解，在此基础上，给出，无括号情况下，简单计算器的实现。
.h文件代码
#ifndef _C_H_
#define _C_H_
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#endif
.cpp
文件代码
#include "C.h"
using namespace std;
struct node{
double num; //操作符
char op; //操作数
bool flag; //数符判定
};
string str; //输入字符串
stack<node> s; //操作符栈
queue<node> q; //操作数队列
map<char, int>op; //操作符优先级
void Change(); //中缀表达式转后缀表达式
double Cal(); //计算表达式的值
int main(){
op['*'] = op['/'] = ;
op['+'] = op['-'] = ;
while(getline(cin, str), str!=""){
for(string::iterator it = str.end();it!=str.begin();it--){
if(*it == ' '){
str.erase(it); //擦除表达式中的空格
}
}
while(!s.empty()){
s.pop(); //初始化栈
}
Change(); //中缀表达式转换为后缀表达式
double rs = Cal();
printf("%.2f\n", rs);
}
return ;
}
//中缀表达式转后缀表达式
void Change(){
node temp;
for(unsigned int i=;i<str.length();){
if(str[i]>=''&&str[i]<=''){ //为操作数
temp.flag = true;
temp.num = str[i++] - ''; //记录该操作数的最高位
while(i<str.length() && str[i]>='' && str[i]<=''){//记录该操作数的后续几位
temp.num = temp.num * + (str[i] - ''); //更新操作数
i++;
}
q.push(temp);
}
else{//为操作符
temp.flag = false;
while(!s.empty()&&op[str[i]]<=op[s.top().op]){
q.push(s.top());
s.pop();
}
temp.op = str[i];
s.push(temp);
i++;
}
}
while(!s.empty()){//操作符栈非空，则直接入后缀表达式队列
q.push(s.top());
s.pop();
}
}
double Cal(){
double temp1, temp2;
node cur, temp;
while(!q.empty()){
cur = q.front();
q.pop();
if(cur.flag){
s.push(cur);
}
else{
temp.flag = true; //暂存计算数据
temp2 = s.top().num; //取第2操作数
s.pop();
temp1 = s.top().num; //取第1操作数
s.pop();
if(cur.op=='+'){
temp.num = temp1 + temp2;
}
else if(cur.op=='-'){
temp.num = temp1 - temp2; //后缀表达式，操作符在原表达式中位于操作数2和操作数1之间
}
else if(cur.op=='*'){
temp.num = temp1 * temp2;
}
else{
temp.num = temp1 / temp2;
}
s.push(temp);
}
}
return s.top().num;
}
有括号输入表达式下，计算器的实现：
#include "C.h"
using namespace std;
struct node{
double num; //操作数
char op; //操作符
bool flag; //数符定界，若真则为操作数，反之为操作符
};
string str; //输入字符串
map<char, int> m; //操作符优先级
queue<node> q; //操作数队列
stack<node> s; //操作符栈
void Change(){
/*
*中缀表达式转后缀表达式
*/
node temp;
for(unsigned int i=;i<str.length();){
if(str[i]>=''&&str[i]<=''){//字符为操作数
temp.flag = true;
temp.num = str[i++] - ''; //记录该操作数
while(i<str.length()&&str[i]>=''&&str[i]<=''){ //记录该操作数的后续几位
temp.num = temp.num * + (str[i] - '');
i++;
}
q.push(temp);
}
else if(str[i]=='+'||str[i]=='-'||str[i]=='/'||str[i]=='*'||str[i]=='('){
temp.flag = false;
if(!s.empty()&&s.top().op=='('){//判断操作符栈栈顶是否为左括号
temp.op = str[i];
s.push(temp);
}
else{
while(!s.empty()&&m[str[i]]<=m[s.top().op]){
q.push(s.top());
s.pop();
}
temp.op = str[i];
s.push(temp);
}
i++;
}
else{
while(!s.empty()&&s.top().op!='('){
q.push(s.top());
s.pop();
}
s.pop();
i++;
}
}
while(!s.empty()){
q.push(s.top());
s.pop();
}
}
double Cal(){
node cur, temp;
double temp1, temp2;
while(!q.empty()){
cur = q.front();
q.pop();
if(cur.flag){
s.push(cur);
}
else{
temp2 = s.top().num;
s.pop();
temp1 = s.top().num;
s.pop();
if(cur.op=='*'){
temp.num = temp1 * temp2;
}
else if(cur.op=='+'){
temp.num = temp1 + temp2;
}
else if(cur.op=='-'){
temp.num = temp1 - temp2;
}
else{
temp.num = temp1 / temp2;
}
s.push(temp);
}
}
return s.top().num;
}
int main(){
m['('] = m[')'] = ;
m['*'] = m['/'] = ;
m['+'] = m['-'] = ;
while(getline(cin, str), str!=""){
for(string::iterator it=str.end();it!=str.begin();it--){
if(*it==' '){
str.erase(it);
}
}
cout<<str<<endl;
while(!s.empty()){
s.pop();
}
Change();
printf("%.2f\n", Cal());
}
return ;
}