| SIFT算法：DoG尺度空间生产 |
| SIFT算法：KeyPoint找寻、定位与优化 |
| SIFT算法：确定特征点方向 |
| SIFT算法：特征描述子 |
目录：
1、找寻
2、定位
3、优化
1 KeyPoint找寻
极值的检测是在DoG空间进行的，检测是以前点为中心，3pixel*3pixel*3pixel的立方体为邻域，判断当前点是否为局部最大或最小。如下图所示，橘黄色为当前检测点，绿色点为其邻域。因为要比较当前点的上下层图像，所以极值检测从DoG每层的第2幅图像开始，终止于每层的倒数第2幅图像（第1幅没有下层，最后1幅没有上层，无法比较）。
2 KeyPoint定位
以上极值点的搜索时在离散空间中进行的，检测到的极值点并不是真正意义上的极值点。如下图所示，连续空间中极值与离散空间的区别。通常通过插值的方式，利用离散的值来插值，求取接近真正的极值的点。
对于一维函数，利用泰勒级数，将其展开为二次函数：
f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + f''(0)x2
对于二维函数，泰勒展开为：
矩阵表示为：
矢量表示为：
当矢量为n维时，有：
求取f(x)的极值，只需求取∂f/∂x = 0。对于极值，x,y,σ三个变量，即为三维空间。利用三维子像元插值，设其函数为D(x, y, σ)，令x = (x, y, σ)T，那么在第一节中找到的极值点进行泰勒展开为（式-1）如下：
其中D为极值点的值，∂DT/∂x为在极值点各自变量的倒数，∂2D/∂x2为其在展开点相应的矩阵。对上式求导，另∂D(x)/∂x = 0，结果如下式，对应的
（为了表示方便，ˆx代替）向量即为真正极值点偏离插值点的量。求解得（式-2）如下：
最终极值点的位置即为插值点x+ˆx，且多次迭代可以提高精度（一般为5次迭代）。
问题 1：
《图像局部不变性特征与描述》中提到，对于偏移量ˆx任何方向上偏移大于0.5的特征点，要删除该点。
对于Lowe的原文为：If the offset ˆx is larger than 0.5 in any dimension, then it means that the extremum lies closer to a different sample point. In this case, the sample point is changed and the interpolation performed instead about that point.
本人英语水平有限，个人认为原作者并未说要删除此类点，只是说这个点偏移了，所以需要插值来进行替换。且在OpenCV sift的源码中，并未删除上述类型的点，在vlfeat的开源代码中，也未删除上述点。
3 KeyPoint优化
对KeyPoint定位后，要剔除一些不好的KeyPoint，那什么是不好的KeyPoint的呢？
- DoG响应较低的点，即极值较小的点。
- 响应较强的点也不是稳定的特征点。DoG对图像中的边缘有较强的响应值，所以落在图像边缘的点也不是稳定的特征点。一方面图像边缘上的点是很难定位的，具有定位的歧义性；另一方面这样的点很容易受到噪声的干扰变得不稳定。
对于第一种，只需计算矫正后的点的响应值D(ˆx)，响应值小于一定阈值，即认为该点效应较小，将其剔除。将（式-2）带入（式-1），求解得：
在Lowe文章中，将|D(ˆx)|<0.03（图像灰度归一化为[0,1]）的特征点剔除。
对于第二种，利用Hessian矩阵来剔除。一个平坦的DoG响应峰值在横跨边缘的地方有较大的主曲率，而在垂直边缘的地方有较小的主曲率。主曲率可以通过2×2的Hessian矩阵H求出：
为最大特征值，
为最小特征值，那么：
表示最大特征值与最小特征值的比值，则有：
也会增加。我们只需要去掉比率大于一定值的特征点。Lowe论文中去掉r=10的点。参考资料：
- David G. Lowe Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints
- 王永明 王贵锦 《图像局部不变性特征与描述》