《A First Course in Abstract Algebra with Applications》-chaper1-数论-关于素数

时间:2024-10-06 14:04:02

由于笔者在别的专栏多次介绍过数论,这里在《抽象代数基础教程》的专栏下,对于chaper1数论这一章节介绍的方式不那么“入门”。

首先来介绍一个代数中常用也是非常重要的证明方法:数学归纳法。

看这样几个数学现实:

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经过辛苦枯燥的计算,对于命题1,n最小的反例是41;对于命题2,n最小的反例是12055735790331359447442538767,数量级是10的二十八次方。

也就会出现这样一个事实:我们根据经验(我们这里想数学归纳法和自然归纳法混为一谈),判断每天太阳都是从东方升起的,在航空航天技术没有发展起来,这个命题我们无从证明,只能通过每天的经验来进行归纳总结,地球的年龄的100亿年,大约是一个10的12次方的数量级,也就是说,假设一个人从地球诞生开始计算命题2,以每天2个数据的速度,到现在他掌握的证据比太阳从东方升起的证据还要多,但是,这个命题依然是错误的。因此归纳法或者数学归纳法并不适用一切情况,但这并不影响其在所有证明方法中的重要作用。

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这个命题的证明通过最小整数定理能够很容易看到,这些看起来似乎无关紧要而且显然的公理、命题其实有着重要的作用。

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这个命题将为素数分解定理(唯一分解定理)的引出奠定基础.

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