用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则

时间:2024-10-01 12:05:20

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line search(一维搜索,或线搜索)是最优化(Optimization)算法中的一个基础步骤/算法。它可以分为精确的一维搜索以及不精确的一维搜索两大类。
在本文中,我想用“人话”解释一下不精确的一维搜索的两大准则:Armijo-Goldstein准则 & Wolfe-Powell准则。
之所以这样说,是因为我读到的所有最优化的书或资料,从来没有一个可以用初学者都能理解的方式来解释这两个准则,它们要么是长篇大论、把一堆数学公式丢给你去琢磨;要么是简短省略、直接略过了解释的步骤就一句话跨越千山万水得出了结论。
每当看到这些书的时候,我脑子里就一个反应:你们就不能写人话吗?

我下面就尝试用通俗的语言来描述一下这两个准则。

【1】为什么要遵循这些准则
由于采用了不精确的一维搜索,所以,为了能让算法收敛(即:求得极小值),人们逐渐发现、证明了一些规律,当你遵循这些规律的时候,算法就很有可能收敛。因此,为了达到让算法收敛的目的,我们就要遵循这些准则。如果你不愿意遵循这些已经公认有效的准则,而是要按自己的准则来设计算法,那么恭喜你,如果你能证明你的做法是有效的,未来若干年后,书本里可能也会出现你的名字。

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【2】Armijo-Goldstein准则
此准则是在196X年的时候由Armijo和Goldstein提出的,当然我没有具体去搜过这俩人是谁。在有的资料里,你可能会看到“Armijo rule”(Armijo准则)的说法,可能是同一回事,不过,任何一个对此作出重要贡献的人都是不可抹杀的,不是么?

Armijo-Goldstein准则的核心思想有两个:①目标函数值应该有足够的下降;②一维搜索的步长α不应该太小。

这两个思想的意图非常明显。由于最优化问题的目的就是寻找极小值,因此,让目标函数函数值“下降”是我们努力的方向,所以①正是想要保证这一点。
同理,②也类似:如果一维搜索的步长α太小了,那么我们的搜索类似于在原地打转,可能也是在浪费时间和精力。

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有了这两个指导思想,我们来看看Armijo-Goldstein准则的数学表达式:
用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则
用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则

其中, 0<ρ<12 
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(1)为什么要规定 ρ∈(0,12) 这个条件?其实可以证明:如果没有这个条件的话,将影响算法的超线性收敛性(定义看这个链接,第4条)。在这个速度至关重要的时代,没有超线性收敛怎么活啊!(开个玩笑)
具体的证明过程,大家可以参考袁亚湘写的《最优化理论与方法》一书,我没有仔细看,我觉得对初学者,不用去管它。
(2)第1个不等式的左边式子的泰勒展开式为:
f(xk+αkdk)=f(xk)+αkgkTdk+o(αk) 
去掉高阶无穷小,剩下的部分为: f(xk)+αkgkTdk 
而第一个不等式右边与之只差一个系数 ρ 
我们已知了 gkTdk<0 (这是 dk 为下降方向的充要条件),并且 ρ∈(0,12) ,因此,1式右边仍然是一个比 f(xk) 小的数,即:
f(xk)+αkρgkTdk<f(xk) 
也就是说函数值是下降的(下降是最优化的目标)。
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(3)由于 ρ∈(0,12) 且 gkTdk<0 ( dk 是一个下降方向的充要条件),故第2个式子右边比第1个式子右边要小,即:
αk(1−ρ)gkTdk<αkρgkTdk<0 
如果步长 α 太小的话,会导致这个不等式接近于不成立的边缘。因此,式2就保证了 α 不能太小。
(4)我还要把很多书中都用来描述Armijo-Goldstein准则的一幅图搬出来说明一下(亲自手绘):

用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则

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横坐标是 α ,纵坐标是 f ,表示在 xk,dk 均为常量、 α 为自变量变化的情况下,目标函数值随之变化的情况。
之所以说 xk,dk 均为常量,是因为在一维搜索中,在某一个确定的点 xk 上,搜索方向 dk 确定后,我们只需要找到一个合适的步长 α 就可以了。
当 x 为常量, α 为自变量时, f(x+αd) 可能是非线性函数(例如目标函数为 y=x2 时)。因此图中是一条曲线。
右上角的 f(xk+αdk) 并不是表示一个特定点的值,而是表示这条曲线是以 α 为自变量、 xk,dk 为常量的函数图形。
当 α=0 时,函数值为 f(xk) ,如图中左上方所示。水平的那条虚线是函数值为 f(xk) 的基线,用于与其他函数值对比。
f(xk)+αkρgkTdk 那条线在 f(xk) 下方(前面已经分析过了,因为 gkTdk<0 ), f(xk)+αk(1−ρ)gkTdk 又在 f(xk)+αkρgkTdk 的下方(前面也已经分析过了),所以Armijo-Goldstein准则可能会把极小值点(可接受的区间)判断在区间bc内。显而易见,区间bc是有可能把极小值排除在外的(极小值在区间ed内)。
所以,为了解决这个问题,Wolfe-Powell准则应运而生。
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【3】Wolfe-Powell准则
在某些书中,你会看到“Wolfe conditions”的说法,应该和Wolfe-Powell准则是一回事——可怜的Powell大神又被无情地忽略了...
Wolfe-Powell准则也有两个数学表达式,其中,第一个表达式与Armijo-Goldstein准则的第1个式子相同,第二个表达式为:
用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则
这个式子已经不是关于函数值的了,而是关于梯度的。
此式的几何解释为:可接受点处的切线斜率≥初始斜率的 σ 倍。
上面的图已经标出了 σgTkdk 那条线(即 e 点处的切线),而初始点( α=0 的点)处的切线是比 e 点处的切线要“斜”的,由于 σ∈(ρ,1) ,使得 e 点处的切线变得“不那么斜”了——不知道这种极为通俗而不够严谨的说法,是否有助于你理解。
这样做的结果就是,我们将极小值包含在了可接受的区间内( e 点右边的区间)。
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Wolfe-Powell准则到这里还没有结束!在某些书中,你会看到用另一个所谓的“更强的条件”来代替(3)式,即:
用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则
这个式子和(3)式相比,就是左边加了一个绝对值符号,右边换了一下正负号(因为 gTkdk<0 ,所以 −σgTkdk>0 )。
这样做的结果就是:可接受的区间被限制在了 [b,d] 内,如图:

用“人话”解释不精确线搜索中的Armijo-Goldstein准则及Wolfe-Powell准则

图中红线即为极小值被“夹击”的生动演示。