程序员的算法课（6）-最长公共子序列（LCS）

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上一节我们讲了动态规划，我们也知道，动态规划对于子问题重叠的情况特别有效，因为它将子问题的解保存在存储空间中，当需要某个子问题的解时，直接取值即可，从而避免重复计算！

这一节我们来解决一个问题，就是最长公共子序列。

一、啥叫最长公共子序列？

【百度百科】LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。

在两个字符串中，有些字符会一样，形成的子序列也有可能相等，因此，长度最长的相等子序列便是两者间的最长公共字序列，其长度可以使用动态规划来求。

比如，对于字符串str1："aabcd";有顺序且相互相邻的aabc是其子序列，有顺序但是不相邻的abd也是其子序列。即，只要得出序列中各个元素属于所给出的数列，就是子序列。

再来一个字符串str2："12abcabcd"；对比可以得出str1和str2的最长公共子序列是abcd。

得出结论：

1. 子序列不是子集，它和原始序列的元素顺序是相关的。
2. 空序列是任何两个序列的公共子序列。
3. 子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一。
4. 对于一个长度为n的序列，它一共有2^n 个子序列，有(2^n – 1)个非空子序列。

二、P问题和NP问题

P问题：一个问题可以在多项式（O(n^k)）的时间复杂度内解决。
NP问题：一个问题的解可以在多项式的时间内被验证。

用人话来解释：

P问题：一个问题可以在多项式（O(n^k)）的时间复杂度内解决。
NP问题：一个问题的解可以在多项式的时间内被验证。

三、最长公共子序列的解决办法

PS：可以使用递归去蛮力解决，需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(2^m*2^n)，太慢了。

对于一般的LCS问题，都属于NP问题。当数列的量为一定的时，都可以采用动态规划去解决。时间复杂度时O(n * m)，空间也是O(n * m)。

1.分析规律

对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

②重叠子问题

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。

来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1)    ❷LCS(Xn-1，Ym)    ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

2.做法

如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：

1. 这个非常好理解，其中一个字符串为0的时候，那么肯定是0了。
2. 当两个字符相等的时候，这个时候很好理解，举例来说：
3. abcd 和 adcd,在遍历c的时候，发现前面只有a相等了，也就是1.
4. 那么c相等，也就是abc和adc在匹配的时候，一定比ab和ad的长度大1，这个1就是c相等么。也就是相等的时候，是比c[i-1][j-1]大1的。
5. 下一个更好理解了，如果不相等，肯定就是找到上一个时刻对比最大的么。

因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度。

但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？也是用一个二维数组b来表示：

• 在对应字符相等的时候，用↖标记
• 在p1 >= p2的时候，用↑标记
• 在p1 < p2的时候，用←标记

标记函数为：

比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:

灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符。就是一个填表过程。填好的表也就把子序列记录下来了，我们可以通过查表的方式得到你要的最长子序列。

这里可以看到，我们构造的一个i*j的矩阵，这个矩阵里的内容不但包括数值（当前结果的最优解），还包括一个方向箭头，这个代表了我们回溯的时候，需要行走的方向。

所以我们这里保存两个值，可以使用两个二维矩阵，也可以使用一个结构体矩阵。

四、演示下c数组的填表过程

以求ABCB和BDCA的LCS长度为例：

以此类推

最后填出的表为：

右下角的2即为LCS的长度。

五、实现代码

public class LongestCommonSubsequence {
    public static int [][]mem;
    public static int [][]s;
    public static int [] result; // 记录子串下标
    public static int LCS(char []X,char []Y,int n,int m){
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            mem[i][0] = 0;
            s[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            mem[0][i] = 0;
            s[0][i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m ; j++) {
                if (X[i-1] == Y[j-1]){
                    mem[i][j] = mem[i-1][j-1] + 1;
                    s[i][j] = 1;
                }
                else {
                    mem[i][j] = Math.max(mem[i][j-1],mem[i-1][j]);
                    if (mem[i][j] == mem[i-1][j]){
                        s[i][j] = 2;
                    }
                    else s[i][j] = 3;
                }
            }
        }
        return mem[n][m];
    }
    // 追踪解
    public static void trace_solution(int n,int m){
        int i = n;
        int j = m;
        int p = 0;
        while (true){
            if (i== 0 || j == 0) break;
            if (s[i][j] == 1 ){
                result[p] = i;
                p++;
                i--;j--;
            }
            else if (s[i][j] == 2){
                i--;
            }
            else { //s[i][j] == 3
                j--;
            }
        }

    }
    public static void print(int [][]array,int n,int m){
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 0; j < m + 1; j++) {
                System.out.printf("%d ",array[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        char []X = {'A','B','C','B','D','A','B'};
        char []Y = {'B','D','C','A','B','A'};
        int n = X.length;
        int m = Y.length;
        // 这里重点理解，相当于多加了第一行 第一列。
        mem = new int[n+1][m+1];
        // 1 表示 左上箭头  2 表示 上  3 表示 左
        s = new int[n+1][m+1];
        result = new int[Math.min(n,m)];
        int longest = LCS(X,Y,n,m);
        System.out.println("备忘录表为：");
        print(mem,n,m);
        System.out.println("标记函数表为：");
        print(s,n,m);
        System.out.printf("longest : %d \n",longest);

        trace_solution(n,m);
        // 输出注意  result 记录的是字符在序列中的下标
        for (int k = longest-1; k >=0 ; k--) {
            // 还需要再减一 才能跟 X Y序列对齐。
            int index = result[k]-1;
            System.out.printf("%c ",X[index]);
        }

    }
}

备忘录表为：
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 2 2
0 1 1 2 2 2 2
0 1 1 2 2 3 3
0 1 2 2 2 3 3
0 1 2 2 3 3 4
0 1 2 2 3 4 4
标记函数表为：
0 0 0 0 0 0 0
0 2 2 2 1 3 1
0 1 3 3 2 1 3
0 2 2 1 3 2 2
0 1 2 2 2 1 3
0 2 1 2 2 2 2
0 2 2 2 1 2 1
0 1 2 2 2 1 2
longest : 4
B C B A 

六、总结

感觉没有讲到位，先挖坑在这里吧。

1. 需要两个数组分别保存长度和具体的最长公共子序列的值
2. 通过二维表的方式，把上一个结果存起来，后面只要查表就可以了
3. git的diff算法是对最长公共子序列算法的延伸，性能更高

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参考资料：

1. https://www.jianshu.com/p/cffe6217e13b
2. https://blog.****.net/lz161530245/article/details/76943991
3. https://www.cnblogs.com/xujian2014/p/4362012.html
4. https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9362287.html
5. https://www.jianshu.com/p/b0172a3ac46c
6. https://blog.****.net/weixin_40673608/article/details/84262695
7. git diff比较
8. https://blog.****.net/lxt_lucia/article/details/81209962
9. https://blog.****.net/smilejiasmile/article/details/81503537