CS Academy Gcd on a Circle(dp + 线段树)

时间:2024-09-19 00:04:02

题意

给你一个长为 \(n\) 的环,你可以把它断成任意 \(k\) 段 \((1 < k \le n)\) ,使得每一段的 \(\gcd\) 都 \(>1\) 。

问总共有多少种方案,对于 \(10^9 + 7\) 取模。

\(n \le 10^5, 2 \le a_i \le 10^9\) 。

题解

首先我们考虑序列上怎么做。

我们令 \(dp_i\) 为到 \(i\) 这个点的方案数, \(pre_i\) 为 \(i\) 向前延伸最长的那个点满足 \((\displaystyle \gcd_{j = pre_i}^{i} a[j]) > 1\) 。

那么

\[\displaystyle dp_i = \sum_{j=pre_i-1}^{i-1} dp_j + [pre_i = 1]
\]

显然这个 \(dp\) 可以用前缀和来进行优化成 \(O(n)\) 的。

至于 \(pre_i\) 的处理可以用线段树求区间 \(\gcd\) ,然后用 two-pointers 来扫端点就行了,是 \(O(n( \log n + \log V))\) 的( \(\displaystyle V = \max_{i=1}^{n} a_i\) )。

好像利用 \(\gcd\) 的一些奇怪势能分析可以证明。


然后如果成环的话,我们只需要多考虑一种情况也就是 \(1,n\) 相连。

对于这种情况,可以考虑枚举最后面有 \(k\) 个数和 \(n\) 相连就行了。

然后每次计算的时候,可以类似于前面 \(dp\) 的计算就行了,但是要注意一下,那个 \([pre_i = 1]\) 要转化成后面 \(k\) 个数与前缀的 \(\gcd\) 是否 \(>1\) 。(也就是我们强行把后 \(k\) 个数当做一个整体提到前面就行了)

然后这样直接做是 \((n^2 \log V)\) 的,不够优秀。

但是我们发现很多数其实没有什么本质区别的,也就是后缀 \(\gcd\) 相同的一部分点可以一起计算。

这样的话,我们可以只在 \(\gcd\) 转折处,以及 \(0\) 号点计算就行了(因为要考虑上 \(1\) 向后那一片 \(\gcd\) 相同的数)。然后复杂度就是 \(O(n \log^2 V)\) 的了。

因为一个点向一端不断延伸,它的 \(\gcd\) 变换次数是 \(O(\log V)\) 的,因为每次变化至少会对于其中一个指数 \(-1\) 。

还有个特殊情况,也就是全部 \(\gcd > 1\) 的情况,需要将方案数 \(- (n - 1)\) 。(因为至少要分成 \(1\) 段)

最后就是 \(O(n (\log n + \log V) \log V)\) 的。

总结

对于一类划分环计数的题目,可以考虑枚举最后面那一段和前面相连的长度,然后直接一遍 \(O(n)\) 计数。

对于有些关于 \(\gcd\) 的题可以利用 \(\gcd\) 变换次数不超过 \(O(\log V)\) 来做。

代码

代码还是很好写的,可以参考一下。(其实博主参考了一下 ysgs 大佬的代码 )

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__) using namespace std; inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;} inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
return x * fh;
} void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("gcd-on-a-circle.in", "r", stdin);
freopen ("gcd-on-a-circle.out", "w", stdout);
#endif
} #define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r const int N = 1e5 + 1e3, Mod = 1e9 + 7; int a[N];
struct Segment_Tree { int Gcd[N << 2]; void Build(int o, int l, int r) {
if (l == r) { Gcd[o] = a[l]; return ; }
int mid = (l + r) >> 1;
Build(lson); Build(rson); Gcd[o] = __gcd(Gcd[o << 1], Gcd[o << 1 | 1]);
} int Query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
if (ql <= l && r <= qr) return Gcd[o];
int mid = (l + r) >> 1;
if (qr <= mid) return Query(lson, ql, qr);
if (ql > mid) return Query(rson, ql, qr);
return __gcd(Query(lson, ql, qr), Query(rson, ql, qr));
} } T; inline int Add(int a, int b) { return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a; } int n, sum[N], dp[N], pre[N]; void Calc(int cur) {
sum[0] = 1;
For (i, 1, n) {
cur = __gcd(cur, a[i]);
if (cur > 1) dp[i] = sum[i - 1];
else dp[i] = Add(sum[i - 1], Mod - sum[max(0, pre[i] - 2)]);
sum[i] = Add(sum[i - 1], dp[i]);
}
} int main () { File(); n = read();
For (i, 1, n) a[i] = read(); T.Build(1, 1, n); pre[1] = 1;
For (i, 2, n)
for (pre[i] = pre[i - 1]; pre[i] < i; ++ pre[i])
if (T.Query(1, 1, n, pre[i], i) > 1) break; int Last = n, suf = 0, cur, ans = 0;
Fordown (i, n, 1) {
cur = __gcd(a[i], suf);
if (cur != suf || i == 1) {
Calc(suf); ans = Add(ans, Add(sum[Last], Mod - sum[i - 1]));
Last = i - 1; suf = cur;
}
} printf ("%d\n", Add(ans, (Mod - (T.Gcd[1] > 1 ? (n - 1) : 0)))); return 0;
}