【0】README
0.1） 本文文字描述部分转自 数据结构与算法分析， 旨在理解 优先队列——二项队列（binominal queue） 的基础知识；
0.2） 本文核心的剖析思路均为原创（insert，merge和deleteMin的操作步骤图片示例）， 源代码均为原创；
0.3） for original source code, please visit https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter6/p152_binominal_queue
【1】二项队列相关
1.0）Attention： 二项队列中不允许有高度相同的二项树存在该队列中；
1.1）problem+solution：
- 1.1.1）problem：虽然左式堆和斜堆每次操作花费O（logN）时间， 这有效地支持了合并， 插入和deleteMin， 但还是有改进的余地，因为我们知道， 二叉堆以每次操作花费常数平均时间支持插入。
- 1.1.2）solution： 二项队列支持所有这三种操作（merge + insert + deleteMin）， 每次操作的最坏情形运行时间为O（logN）， 而插入操作平均花费常数时间； （干货——优先队列的三种基本操作——merge + insert + deleteMin）
1.2）相关定义
- 1.2.1） 二项队列定义： 二项队列不同于我们看到的所有优先队列的实现之处在于， 一个二项队列不是一颗堆序的树， 而是堆序树的集合，称为森林；（干货——二项队列的定义和构成，二项队列是二项树的集合，而二项树是一颗堆序树）
- 1.2.2）二项树定义： 堆序树中的每一颗都是有约束的形式。 （干货——二项树的定义）
-
1.2.3）二项树的构成：每一个高度上至多存在一颗二项树， 高度为0的二项树是一颗单节点树； 高度为k 的二项树Bk 通过将一颗二项树 Bk-1 附接到另一颗二项树Bk-1 的根上而构成；（干货——二项树的构成）
对上图的分析（Analysis）：
-
A1）二项树的性质：
- A1.1）从图中看到， 二项树Bk 由一个带有儿子B0， B1， …, Bk-1的根组成；
- A1.2）高度为k 的二项树恰好有2^k 个节点；
- A1.3） 而在深度d 的节点数是 二项系数 。
A2）如果我们把堆序添加到二项树上， 并允许任意高度上最多有一颗二项树，那么我们能够用二项树的集合唯一地表示任意大小的优先队列；
【2】二项队列操作（merge + insert + deleteMin）
2.1）合并操作（merge） （干货——合并操作的第一步就是查看是否有高度相同的二项树，如果有的话将它们merge）
- step1） H1 没有高度为0的二项树而H2有，所以将H2中高度为0的二项树直接作为H3的一部分；（直接的意思==中间不需要merge）；
- step2） H1 和 H2 中都有高度为1的二项树，将它们进行merge， 得到高度为2的二项树（根为12）；
- step3）现在存在三颗高度为2的二项树（根分别为12， 14， 23），将其中两个进行merge（如merge根为12 和 根为14 的二项树），得到高度为3的二项树；
- step4）所以，最后，我们得到二项队列， 其集合包括：高度为０的二项树（根为13）， 高度为1的二项树（根为23），高度为3的二项树（高度为12）；
Attention）
- A1）显然，merge操作是按照高度升序依次进行的；
- A2）最后得到的二项队列不存在高度相同的二项树，即使存在，也要将高度相同的二项树进行merge；
- A3）二项队里中的二项树的高度不必囊括所有的升序实数，即不必一定是0， 1， 2， 3，4 等等； 也可以是0， 1， 3 等；
-
A4）单节点树的高度为0； （干货——树高度从零起跳）
2.2）插入操作（insert） （干货——insert操作是merge操作的特例，而merge操作的第一步就是查看是否有高度相同的二项树，如果有的话将它们merge）
- 2.2.1）插入操作实际上： 就是特殊情形的合并， 我们只需要创建一颗单节点树并执行一次merge；
-
2.2.2）更准确地说： 如果元素将要插入的那个优先队列中不存在的最小的二项树是Bi， 那么运行时间与 i + 1 成正比；
对上图的分析（Analysis）：
- A1） 4 插入之后，与B0（根为3）进行merge， 得到一颗高度为1的树B1’（根为3）；
- A2）将B1’ 与 B1（根为1） 进行merge 得到高度为2 的树B2’（根为1）， 它是新的优先队列；
- A3）在插入7之后的下一次插入又是一个坏情形， 因为需要三次merge操作；
2.3）删除最小值操作（deleteMin）
- step1）找出一颗具有最小根的二项树来完成， 令该树为Bk， 令原始序列为H；
- step2）从H中除去Bk， 形成新的二项队列H’；
- step3）再除去Bk的根， 得到一些二项树B0, B1， …, Bk-1， 它们共同形成优先队列H”；
-
step4） 合并H’ 和 H” ， 操作结束；
【3】 source code and printing results
3.1）source code at a glance
Attention）二项队列的实现源代码用到了 儿子兄弟表示法；
#include "binominal_queue.h" #define MINIMAL 10000 int minimal(BinominalQueue bq)
{
int capacity;
int i;
int minimal;
int miniIndex; minimal = MINIMAL;
capacity = bq->capacity;
for(i=; i<capacity; i++)
{
if(bq->trees[i] && bq->trees[i]->value < minimal)
{
minimal = bq->trees[i]->value;
miniIndex = i;
}
} return miniIndex;
} // initialize the BinominalQueue with given capacity.
BinominalQueue init(int capacity)
{
BinominalQueue queue;
BinominalTree* trees;
int i; queue = (BinominalQueue)malloc(sizeof(struct BinominalQueue));
if(!queue)
{
Error("failed init, for out of space !");
return queue;
}
queue->capacity = capacity; trees = (BinominalTree*)malloc(capacity * sizeof(BinominalTree));
if(!trees)
{
Error("failed init, for out of space !");
return NULL;
}
queue->trees = trees; for(i=; i<capacity; i++)
{
queue->trees[i] = NULL;
} return queue;
} // attention: the root must be the left child of the binominal tree.
int getHeight(BinominalTree root)
{
int height;
if(root == NULL)
{
return ;
} height = ;
while(root->nextSibling)
{
height++;
root = root->nextSibling;
} return height;
} // merge BinominalQueue bq2 into bq1.
void outerMerge(BinominalQueue bq1, BinominalQueue bq2)
{
int height;
int i; for(i=; i<bq2->capacity; i++)
{
height = -;
if(bq2->trees[i])
{
height = getHeight(bq2->trees[i]->leftChild);
// attention for the line above
// height = height(bq2->trees[i]->leftChild); not height = height(bq2->trees[i]);
merge(bq2->trees[i], height, bq1);
}
}
} // merge tree h1 and h2 = bq->trees[height],
// who represents the new tree and old one respectively.
BinominalTree merge(BinominalTree h1, int height, BinominalQueue bq)
{
if(h1 == NULL)
{
return h1;
} if(bq->trees[height] == NULL) // if the queue don't has the B0 tree.
{
bq->trees[height] = h1;
return bq->trees[height];
}
else // otherwise, compare the new tree's height with that of old one.
{
if(h1->value > bq->trees[height]->value) // the new should be treated as the parent of the old.
{
innerMerge(bq->trees[height], height, h1, bq);
}
else // the old should be treated as the parent of the new.
{
innerMerge(h1, height, bq->trees[height], bq);
}
} return h1;
} BinominalTree lastChild(BinominalTree root)
{
while(root->nextSibling)
{
root = root->nextSibling;
} return root;
} // merge tree h1 and h2 = bq->trees[height],
// who represents the new tree and old one respectively.
BinominalTree innerMerge(BinominalTree h1, int height, BinominalTree h2, BinominalQueue bq)
{
if(h1->leftChild == NULL)
{
h1->leftChild = h2;
}
else
{
lastChild(h1->leftChild)->nextSibling = h2;
// attention for the line above
// lastChild(h1->leftChild)->nextSibling = h2 not lastChild(h1)->nextSibling = h2
}
height++;
bq->trees[height-] = NULL;
merge(h1, height, bq); return h1;
} // insert an element with value into the priority queue.
void insert(ElementType value, BinominalQueue bq)
{
TreeNode node; node = (TreeNode)malloc(sizeof(struct TreeNode));
if(!node)
{
Error("failed inserting, for out of space !");
return ;
}
node->leftChild= NULL;
node->nextSibling = NULL;
node->value = value; merge(node, , bq);
} // analog print node values in the binominal tree, which involves preorder traversal.
void printPreorderChildSibling(int depth, BinominalTree root)
{
int i; if(root) {
for(i = ; i < depth; i++)
printf(" ");
printf("%d\n", root->value);
printPreorderChildSibling(depth + , root->leftChild);
printPreorderChildSibling(depth, root->nextSibling);
}
else
{
for(i = ; i < depth; i++)
printf(" ");
printf("NULL\n");
}
} // print Binominal Queue bq
void printBinominalQueue(BinominalQueue bq)
{
int i; for(i=; i<bq->capacity; i++)
{
printf("bq[%d] = \n", i);
printPreorderChildSibling(, bq->trees[i]);
}
} void deleteMin(BinominalQueue bq)
{
int i;
BinominalTree minitree;
BinominalTree sibling; i = minimal(bq);
minitree = bq->trees[i]->leftChild; //minitree->value=51
free(bq->trees[i]);
bq->trees[i] = NULL; while(minitree)
{
sibling = minitree->nextSibling;
minitree->nextSibling = NULL;
merge(minitree, getHeight(minitree->leftChild), bq);
minitree = sibling;
}
} int main()
{
BinominalQueue bq, bq1, bq2;
int data[] = {, , , , , , , , , , };
int data1[] = {, , , , , };
int data2[] = {, , , , , , };
int i;
int capacity; // creating the binominal queue bq starts.
capacity = ;
bq = init(capacity);
for(i=; i<capacity; i++)
{
insert(data[i], bq);
}
printf("\n=== after the binominal queue bq is created ===\n");
printBinominalQueue(bq);
// creating over. // creating the binominal queue bq1 starts.
capacity = ;
bq1 = init(capacity);
for(i=; i<capacity; i++)
{
insert(data1[i], bq1);
}
printf("\n=== after the binominal queue bq1 is created ===\n");
printBinominalQueue(bq1);
// creating over. // creating the binominal queue bq2 starts.
capacity = ;
bq2 = init(capacity);
for(i=; i<capacity; i++)
{
insert(data2[i], bq2);
}
printf("\n=== after the binominal queue bq2 is created ===\n");
printBinominalQueue(bq2);
// creating over. // merge bq2 into the bq1
outerMerge(bq1, bq2);
printf("\n=== after bq2 is merged into the bq1 ===\n");
printBinominalQueue(bq1);
// merge over. // executing deleteMin opeartion towards binominal queue bq1
printf("\n=== after executing deleteMin opeartion towards binominal queue bq1 ===\n");
deleteMin(bq1);
printBinominalQueue(bq1);
// deleteMin over!
return ;
}
3.2） printing results
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