MST_PRIM算法学习心得

时间：2022-11-25 16:45:55
MST_PRIM算法学习心得 2010-06-08 11:48 数据结构书中有一个很经典的问题，就是求n个城市之间以最节省经费建立通信网问题，它属于构造最小生成树的问题，构造最小生成树算法属Prim（普利姆）算法和Kruskal（克鲁斯卡尔）算法最为经典，当然，还有很多其它算法构造最小生成树，这里不多提了，待自己去啃资料了。 Prim算法，它的基本思想是这样的： 一个集合U表结点全集，定义两个集合V和S，S代表最小生成树结点集，V代表S的补集，从起始节点k开始访问，把k放入S中，然后取连接在集S和集V中各找出一结点组成的边，一一比较它们的大小，找出具最小权值的边，然后把该边对应的在补集V中的节点v放入S中，循环执行找最小边过程，直到最小生成树集S=U时退出循环，在这个过程当中所找出来的都是满足连接两集合的最小边，这样就保证了构成的是一棵最小生成树。 在对Prim算法基本思想粗略理解的基础上，小弟想出了一个比较直接表达该思想的算法，时间复杂度为O（n^3），算法描述如下： 1. 定义一个辅助数组flag[]，用来标记该点是否存入最小生成树集S中，如果flag[i]=1,说明第i个节点已经并入S中，反之则反。 2. 算法过程函数MST_PRIM（MGraph， int），传入两个参数，第一个是用邻接矩阵表示的图MG，第二个参数表示起始节点的数据u； 3. 首先找出起始节点的编号赋予k（k=LocateVex（MG, u）），把该节点放入S中（即flag[k]=1）； 4. 比较所有连接S和V的边的权值，找出具最小权值的边，（此处反映出Prim算法思想）记录该边对应集V（非最小生成树集）中结点v的编号j，把节点v放入S中； 5. 重复步骤4，直到S=U退出循环。 代码如下： //图的邻接矩阵表示结构体 typedef struct MG{ int vexs[20][2]; int adj[20][20]; int vexnum, arcnum; }MGraph; MGraph MG1; int LocateVex(MGraph G, int u) { int i; for(i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(u==G.vexs[i][0]) return i; } return -1; } void MST_PRIM(MGraph G, int u) { int k, i, j, count=1, min,flag[20], h, l; for(i=0; i<20; i++) flag[i]=0; k = LocateVex(G, u); flag[k]=1; while(count++G.adj[h][i] && G.adj[h][i]>0 && i!=h) { min=G.adj[h][i]; j=i; l=h; } } } } printf("(%d, %d) ", l, j); flag[j]=1; } printf("/n"); } int main() { int u, i; MG1.vexnum=6; for(i=0; i<20; i++) { closedge[i].lowcost = 0; } for(i=1; i<=MG1.vexnum; i++) { MG1.vexs[i][0]=i; MG1.vexs[i][1]=0; } //十条边 MG1.arcnum=10; //给边赋权值 MG1.adj[1][2]=6; MG1.adj[2][1]=6; MG1.adj[1][3]=1; MG1.adj[3][1]=1; MG1.adj[1][4]=5; MG1.adj[4][1]=5; MG1.adj[2][3]=5; MG1.adj[3][2]=5; MG1.adj[2][5]=3; MG1.adj[5][2]=3; MG1.adj[3][5]=6; MG1.adj[5][3]=6; MG1.adj[3][6]=4; MG1.adj[6][3]=4; MG1.adj[3][4]=5; MG1.adj[4][3]=5; MG1.adj[4][6]=2; MG1.adj[6][4]=2; MG1.adj[5][6]=6; MG1.adj[6][5]=6; //从第几个点开始 printf("Enter u: "); scanf("%d", &u); MST_PRIM(MG1, u); system("pause"); return 0; } 当对上面这个程序进行调整后，可以优化成一个时间复杂度为O（n^2）的算法，变化如下： 1． 添加两个辅助数组prevVex[]和LowestC[]； 2． prevVex存储V中结点v找到最小边时对应S中的结点u（prevVex[v]=u，u为v的前驱，即u->v），lowestC存储从源结点到对应V中结点v的最小权值（lowestC[v]=adj[u][v]）； 3． 如果表lowestC[]原来存在有对应的值，当进行下一轮搜索最小边时当前边权值adj[a][b]就先和原来存在的lowestC[b]值比较，如果小于原lowestC[b]值时用adj[a][b]进行覆盖，否则不改变该lowestC[b]值，并且对应结点b的prevVex[b]指向的源结点也不改变； 4． 从起始结点开始遍历，循环查找直到S=U退出循环。 代码如下: void MST_PRIM_O_2(MGraph G, int u) { int k, i, j, min, flag[20]={0}, lowestC[20]={0}, prevVex[20]={0}; //定位起始结点 k = LocateVex(G, u); flag[k]=1; //用表存起始结点所有的邻边权值 for(i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(i!=k && G.adj[k][i]>0) { prevVex[i]=k; lowestC[i]=G.adj[k][i]; } } //从起始结点开始的最小边搜索 for(j=2; j<=G.vexnum; j++) { min=1000; //找出权值最小边，记录其编号 for(i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(lowestC[i]>0 && min>lowestC[i] && !flag[i]) { min=lowestC[i]; k=i; } } printf("(%d, %d)", prevVex[k], G.vexs[k]); flag[k]=1; //用表存k结点的邻接边的权值 for(i=1; i<=G.vexnum; i++) { //满足三个条件： //1.结点未被访问； //2.原表中值大于对应边（k，i）的权值或者原表中值为空； //3.边存在（即权值大于0）。 if(!flag[i] && (G.adj[k][i]0) { lowestC[i]=G.adj[k][i]; prevVex[i]=k; } } } printf("/n"); } 总结： 时间复杂度为O（n^3）的算法直接对边的权值进行比较，找出满足条件的具最小权值的边，输出该边； 时间复杂度为O（n^2）的算法用一表暂存每个结点对应的经处理后的邻边的权值序列，具最小权值的边必在这个序列中，找出并输出该边。 附上数据结构课本Prim算法的代码： void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, int u) { int i, j, k; k = LocateVex(G, u); for(j=1; j<=G.vexnum; ++j) if(j!=k) { closedge[j].adjvex = u; closedge[j].lowcost = G.adj[k][j]; } closedge[k].lowcost = -1; for(i=2; i<=G.vexnum; i++){ k = minimum(closedge); printf("(%d, %d) ", closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); closedge[k].lowcost = -1; for(j=1; j<=G.vexnum; j++) if(closedge[j].lowcost>=0 && G.adj[k][j]>0 && j!=k && (G.adj[k][j] < closedge[j].lowcost || closedge[j].lowcost==0)) { closedge[j].adjvex = G.vexs[k]; closedge[j].lowcost = G.adj[k][j]; } } printf("/n"); }
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