已经搬家到新博客 jjyy.guru
分享跟游戏相关的技术、编程心得、unity3d、cocos2d、emacs、操作系统
图形学入门之线性代数
在图形学中，我们常常会用到很多数学技术，这里简单的讲一下，主要以理解为主。
一切从表示位置开始
我们可以用什么去表示三维空间爱你中的某个位置？
那就是一个坐标，它是有三个标量组成：
(x,y,z)
可以理解成在该空间中，从原点出发，x轴单位走过的路程，在y轴单位中走过的路程，再加上z轴走过的路程。一个坐标其实不仅仅是一个位置，也可以表示一个方向。我们称之为向量。
什么是空间
那么刚刚提到的“该空间”是什么空间呢？
空间可以理解成坐标的“容器”。
数学上怎么表示一个空间的容器呢？
答案就是通过一个坐标系。通过坐标系，我们可以表示一个空间，而坐标填充满了在里面。
我们自身就活在三维空间，容易想到，这里我们把三条不平行的向量放在一起表示坐标系：
(x, 0, 0)
(0, y, 0)
(0, 0, z)
这里我们用三条正交的向量，配以一个单位长去表示一个空间。当然，三条向量不是一定要正交。因为不正交的空间也是存在的。
空间和坐标的关系
那么在这个空间上的坐标怎么算呢？比如：
(1, 0, 0)
按照刚开始的说法坐标可以理解成从原点出发，x轴单位走过的路程，在y轴单位中走过的路程，再加上z轴走过的路程。
所以我们让这个坐标在上面的空间走一下，得到下面的结果：
x
我们发现，在不同空间下，相同的值走过的路程不一样，因此，坐标的位置由它所处的空间决定。
对顶点进行变换
通过上面的发现，我们可以对顶点进行一些有趣的变换，而且有三种基本的变换。
- 平移
- 缩放
- 旋转
通过这三种基本的变换，我们可以通过一个矩阵把，把顶点从原点移动到任意一个地方。
计算机显示三维
计算机图形学中的光栅化，简单来讲就是在把用数据表示成的三维世界，在屏幕上的像素中显示出来，因此需要计算每一个像素的颜色。听上去是一个庞大的工作，但是聪明的程序员通过强大的抽象，通过有限的几个简单的组合去描述这个工作，从而可以用一个更加人性化的方式去表示。但在此之前，需要先讨论怎么把屏幕中的三维世界显示出来。
在图形学的渲染管线中，我们会用网格再贴上纹理去表达这个三维世界。简单来讲就是这些数据关于光的计算之后，颜色进行叠加，就像画家一样，把颜料一层一层的涂上去，直到满意为止。用绘画去比喻的话，在色彩之前，我们通常还要素描稿，把形状绘制出来。把色彩绘制出来会在放在下一篇，这里主要讲解这个线稿怎么画。
假设我们有一个网格模型，我们的目标便是将这个网格放到屏幕上的位置，并且将线条上经过的像素进行填充。这个网格是怎样放到屏幕上的正确位置呢？
由于艺术家都喜欢把模型放到坐标原点，因此，所有模型都需要从坐标原点变换到我们希望的位置（屏幕上的那个位置）。在前面我们学到，我们可以通过一个矩阵去把一个顶点变换到另外一个位置。这显然可行，但是计算这个矩阵太复杂了。所以这里我们把矩阵进行分解，我们形象地分开几个矩阵的相乘。
世界矩阵：原点->世界空间的位置
摄像机矩阵：世界空间的位置->以摄像机为中心后的位置
屏幕矩阵：以摄像机为中心的位置上每一点映射到屏幕上每一点
把它们串起来就得到了我们屏幕上的“线稿”