快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）是信号处理与数据分析领域里最重要的算法之一。我打开一本老旧的算法书，欣赏了JW Cooley 和 John Tukey 在1965年的文章中，以看似简单的计算技巧来讲解这个东西。
本文的目标是，深入Cooley-Tukey FFT 算法，解释作为其根源的“对称性”，并以一些直观的python代码将其理论转变为实际。我希望这次研究能对这个算法的背景原理有更全面的认识。
FFT（快速傅里叶变换）本身就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的快速算法，使算法复杂度由原本的O(N^2) 变为 O(NlogN)，离散傅里叶变换DFT，如同更为人熟悉的连续傅里叶变换，有如下的正、逆定义形式：
xn 到 Xk 的转化就是空域到频域的转换，这个转换有助于研究信号的功率谱，和使某些问题的计算更有效率。事实上，你还可以查看一下我们即将推出的天文学和统计学的图书的第十章（这里有一些图示和python代码）。作为一个例子，你可以查看下我的文章《用python求解薛定谔方程》，是如何利用FFT将原本复杂的微分方程简化。
正因为FFT在那么多领域里如此有用，python提供了很多标准工具和封装来计算它。NumPy 和 SciPy 都有经过充分测试的封装好的FFT库，分别位于子模块 numpy.fft 和 scipy.fftpack 。我所知的最快的FFT是在 FFTW包中 ，而你也可以在python的pyFFTW 包中使用它。
虽然说了这么远，但还是暂时先将这些库放一边，考虑一下怎样使用原始的python从头开始计算FFT。
计算离散傅里叶变换
简单起见，我们只关心正变换，因为逆变换也只是以很相似的方式就能做到。看一下上面的DFT表达式，它只是一个直观的线性运算：向量x的矩阵乘法，
矩阵M可以表示为
这么想的话，我们可以简单地利用矩阵乘法计算DFT：
import numpy as np
def DFT_slow(x):
"""Compute the discrete Fourier Transform of the 1D array x"""
x = np.asarray(x, dtype=float)
N = x.shape[0]
n = np.arange(N)
k = n.reshape((N, 1))
M = np.exp(-2j * np.pi * k * n / N)
return np.dot(M, x)
对比numpy的内置FFT函数，我们来对结果进行仔细检查
x = np.random.random(1024)
np.allclose(DFT_slow(x), np.fft.fft(x))
输出：
True
现在为了验证我们的算法有多慢，对比下两者的执行时间
%timeit DFT_slow(x) %timeit np.fft.fft(x)
输出：
10 loops, best of 3: 75.4 ms per loop
10000 loops, best of 3: 25.5 µs per loop
使用这种简化的实现方法，正如所料，我们慢了一千多倍。但问题不是这么简单。对于长度为N的输入矢量，FFT是O(N logN)级的，而我们的慢算法是O(N^2)级的。这就意味着，FFT用50毫秒能干完的活，对于我们的慢算法来说，要差不多20小时！ 那么FFT是怎么提速完事的呢？答案就在于他利用了对称性。
离散傅里叶变换中的对称性
算法设计者所掌握的最重要手段之一，就是利用问题的对称性。如果你能清晰地展示问题的某一部分与另一部分相关，那么你就只需计算子结果一次，从而节省了计算成本。
Cooley 和 Tukey 正是使用这种方法导出FFT。 首先我们来看下
的值。根据上面的表达式，推出：
对于所有的整数n，exp[2π i n]=1。
最后一行展示了DFT很好的对称性：
简单地拓展一下：
同理对于所有整数 i 。正如下面即将看到的，这个对称性能被利用于更快地计算DFT。
DFT 到 FFT：
利用对称性 Cooley 和 Tukey 证明了，DFT的计算可以分为两部分。从DFT的定义得：
我们将单个DFT分成了看起来相似两个更小的DFT。一个奇，一个偶。目前为止，我们还没有节省计算开销，每一部分都包含(N/2)∗N的计算量，总的来说，就是N^2 。
技巧就是对每一部分利用对称性。因为 k 的范围是 0≤k<N ， 而 n 的范围是 0≤n<M≡N/2 ， 从上面的对称性特点来看，我们只需对每个子问题作一半的计算量。O(N^2) 变成了 O(M^2) 。
但我们不是到这步就停下来，只要我们的小傅里叶变换是偶倍数，就可以再作分治，直到分解出来的子问题小到无法通过分治提高效率，接近极限时，这个递归是 O(n logn) 级的。
这个递归算法能在python里快速实现，当子问题被分解到合适大小时，再用回原本那种“慢方法”。
def FFT(x):
"""A recursive implementation of the 1D Cooley-Tukey FFT"""
x = np.asarray(x, dtype=float)
N = x.shape[0] if N % 2 > 0:
raise ValueError("size of x must be a power of 2")
elif N <= 32: # this cutoff should be optimized
return DFT_slow(x)
else:
X_even = FFT(x[::2])
X_odd = FFT(x[1::2])
factor = np.exp(-2j * np.pi * np.arange(N) / N)
return np.concatenate([X_even + factor[:N / 2] * X_odd,
X_even + factor[N / 2:] * X_odd])
现在我们做个快速的检查，看结果是否正确：
x = np.random.random(1024)
np.allclose(FFT(x), np.fft.fft(x))
输出：
True
然后与“慢方法”的运行时间对比下：
%timeit DFT_slow(x) %timeit FFT(x) %timeit np.fft.fft(x)
输出：
10 loops, best of 3: 77.6 ms per loop
100 loops, best of 3: 4.07 ms per loop
10000 loops, best of 3: 24.7 µs per loop
现在的算法比之前的快了一个数量级。而且，我们的递归算法渐近于 O(n logn) 。我们实现了FFT 。
需要注意的是，我们还没做到numpy的内置FFT算法，这是意料之中的。numpy 的 fft 背后的FFTPACK算法 是以 Fortran 实现的，经过了多年的调优。此外，我们的NumPy的解决方案，同时涉及的Python堆栈递归和许多临时数组的分配，这显著地增加了计算时间。
还想加快速度的话，一个好的方法是使用Python/ NumPy的工作时，尽可能将重复计算向量化。我们是可以做到的，在计算过程中消除递归，使我们的python FFT更有效率。
向量化的NumPy
注意上面的递归FFT实现，在最底层的递归，我们做了N/32次的矩阵向量乘积。我们的算法会得益于将这些矩阵向量乘积化为一次性计算的矩阵-矩阵乘积。在每一层的递归，重复的计算也可以被向量化。因为NumPy很擅长这类操作，我们可以利用这一点来实现向量化的FFT
def FFT_vectorized(x):
"""A vectorized, non-recursive version of the Cooley-Tukey FFT"""
x = np.asarray(x, dtype=float)
N = x.shape[0] if np.log2(N) % 1 > 0:
raise ValueError("size of x must be a power of 2") # N_min here is equivalent to the stopping condition above,
# and should be a power of 2
N_min = min(N, 32) # Perform an O[N^2] DFT on all length-N_min sub-problems at once
n = np.arange(N_min)
k = n[:, None]
M = np.exp(-2j * np.pi * n * k / N_min)
X = np.dot(M, x.reshape((N_min, -1))) # build-up each level of the recursive calculation all at once
while X.shape[0] < N:
X_even = X[:, :X.shape[1] / 2]
X_odd = X[:, X.shape[1] / 2:]
factor = np.exp(-1j * np.pi * np.arange(X.shape[0])
/ X.shape[0])[:, None]
X = np.vstack([X_even + factor * X_odd,
X_even - factor * X_odd]) return X.ravel()
x = np.random.random(1024)
np.allclose(FFT_vectorized(x), np.fft.fft(x))
输出：
True
因为我们的算法效率更大幅地提升了，所以来做个更大的测试（不包括DFT_slow）
x = np.random.random(1024 * 16)
%timeit FFT(x) %timeit FFT_vectorized(x) %timeit np.fft.fft(x)
输出：
10 loops, best of 3: 72.8 ms per loop
100 loops, best of 3: 4.11 ms per loop
1000 loops, best of 3: 505 µs per loop
我们的实现又提升了一个级别。这里我们是以 FFTPACK中大约10以内的因数基准，用了仅仅几十行 Python + NumPy代码。虽然没有相应的计算来证明， Python版本是远优于 FFTPACK源，这个你可以从这里浏览到。
那么 FFTPACK是怎么获得这个最后一点的加速的呢？也许它只是一个详细的记录簿， FFTPACK花了大量时间来保证任何的子计算能够被复用。我们这里的numpy版本涉及到额外的内存的分配和复制，对于如Fortran的一些低级语言就能够很容易的控制和最小化内存的使用。并且Cooley-Tukey算法还能够使其分成超过两部分（正如我们这里用到的Cooley-Tukey FFT基2算法），而且，其它更为先进的FFT算法或许也可以能够得到应用，包括基于卷积的从根本上不同的方法（例如Bluestein的算法和Rader的算法）。结合以上的思路延伸和方法，就可使阵列大小即使不满足2的幂，FFT也能快速执行。