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线段树小结 A Summary for Segment Tree

0. Anouncement

Ⅰ. 线段树

什么是线段树？
首先我们来看一个图，线段树就是每个节点维护一个区间的树。
可以常数倍空间复杂度的情况下高效的维护信息(维护一般指的是更新和查询) 。
本文除特别题目外，区间以及根节点的下标均从 1 开始，线段树的维护信息均以数组的方法存储。
线段树的时空复杂度
由上图我们可以发现: 线段树维护的区间在同一高度上是完全不相交的，并且恰好包含了所有的区间。
图中红字所表示的是每个节点的所在的数组的下标
我们可以发现每个节点的左儿子是父亲节点下标 * 2，右儿子是父亲节点下标 * 2 + 1
并且我们也发现以这样的存储方式，仅仅开2倍的空间是不够的，4倍才是合适的
至于为什么是4倍？详情可以看这里，点击查看
由于线段树的二叉树形结构，更新和查询的时间复杂度操作都是 O(logn)

Ⅱ. 线段树的代码模版

l,r,rt: 保存的区间信息，其中rt是这个区间信息所存的节点的下标
L,R: 每次操作要更新的区间
v: 更新的值
HH风格的线段树，感谢HH大牛对于线段树学习的分享
单点更新区间查询(单点查询其实就是区间查询的特例)
push_up 把儿子节点的信息更新到自己

//以单点更新 区间查询的RMQ为例
const int N = 1e5 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

int maxv[N << 2];

void push_up(int rt) {
    maxv[rt] = max(maxv[rt << 1], maxv[rt << 1 | 1]);
}
void build(int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
scanf("%d", &maxv[rt]);
return;
    }
int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}
void update(int o, int v, int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
        maxv[rt] = v;
return;
    }
int m = l + r >> 1;
if(o <= m) update(o, v, lson);
else update(o, v, rson);
    push_up(rt);
}
int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) return maxv[rt];
int m = l + r >> 1;
int ret = -INF;
if(L <= m) ret = max(ret, query(L, R, lson));
if(R > m) ret = max(ret, query(L, R, rson));
return ret;
}

区间更新区间查询
push_down 在更新或者查询到当前节点的左右儿子节点时，提前更新它的左右儿子节点，
这就是懒惰操作lazy propagation
这是一个坎，建议不要去看什么网上的讲解，代码就是最好的讲解，模拟几遍代码就懂了

//以区间更新 区间求和为例
const int N = 1e5 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

int sum[N << 2], add[N << 2];

void push_up(int rt) {
    sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
void push_down(int rt, int m) {
if(add[rt]) {
        sum[rt << 1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
        sum[rt << 1 | 1] += add[rt] * (m >> 1);
        add[rt << 1] += add[rt];
        add[rt << 1 | 1] += add[rt];
        add[rt] = 0;
    }
}
void update(int L, int R, int v, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
        add[rt] += v;
        sum[rt] += v * (r - l + 1);
return;
    }
    push_down(rt, r - l + 1);
int m = l + r >> 1;
if(L <= m) update(L, R, v, lson);
if(R > m) update(L, R, v, rson);
    push_up(rt);
}
int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) return sum[rt];
    push_down(rt, r - l + 1);
int m = l + r >> 1, ret = 0;
if(L <= m) ret += query(L, R, lson);
if(R > m) ret += query(L, R, rson);
return ret;
}

Ⅲ. 线段树的题目讲解

所有的题目不外乎都是这两种模型，但是题目也有一定的技巧，即使是区间更新也不一定要往下传递lazy标记，
我们将以具体的题目配合进行讲解

1. 单点更新区间查询

HDU 1166 敌兵布阵
update:单点增减 query:区间求和

//
// Created by TaoSama on 2015-05-19
// Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 5e4 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

int n, sum[N << 2];

void push_up(int rt) {
    sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}

void build(int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
scanf("%d", &sum[rt]);
return;
    }
int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}

void update(int o, int v, int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
        sum[rt] += v;
return;
    }
int m = l + r >> 1;
if(o <= m) update(o, v, lson);
else update(o, v, rson);
    push_up(rt);
}

int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) return sum[rt];
int m = l + r >> 1;
int ret = 0;
if(L <= m) ret += query(L, R, lson);
if(R > m) ret += query(L, R, rson);
return ret;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

int t; scanf("%d", &t);
int kase = 0;
while(t--) {
printf("Case %d:\n", ++kase);
scanf("%d", &n);
        build(root);
char op[10]; int x, y;
while(scanf("%s", op)) {
if(op[0] == 'E') break;
scanf("%d%d", &x, &y);
if(op[0] == 'Q') printf("%d\n", query(x, y, root));
else if(op[0] == 'A') update(x, y, root);
else if(op[0] == 'S') update(x, -y, root);
        }
    }
return 0;
}

HDU 1754 I Hate It
update:单点更新 query:区间最值

//
// Created by TaoSama on 2015-05-19
// Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1
int n, q, maxv[N << 2];

void push_up(int rt) {
    maxv[rt] = max(maxv[rt << 1], maxv[rt << 1 | 1]);
}

void build(int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
scanf("%d", &maxv[rt]);
return;
    }
int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}

void update(int o, int v, int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
        maxv[rt] = v;
return;
    }
int m = l + r >> 1;
if(o <= m) update(o, v, lson);
else update(o, v, rson);
    push_up(rt);
}

int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) return maxv[rt];
int m = l + r >> 1;
int ret = -INF;
if(L <= m) ret = max(ret, query(L, R, lson));
if(R > m) ret = max(ret, query(L, R, rson));
return ret;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

while(scanf("%d%d", &n, &q) == 2) {
        build(root);
while(q--) {
char op[2]; int x, y;
scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
if(op[0] == 'Q') printf("%d\n", query(x, y, root));
else update(x, y, root);
        }
    }
return 0;
}

POJ 3264 Balanced Lineup
query:区间最值

//
// Created by TaoSama on 2015-05-21
// Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 5e4 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1
int n, q, maxv[N << 2], minv[N << 2];

void push_up(int rt) {
    maxv[rt] = max(maxv[rt << 1], maxv[rt << 1 | 1]);
    minv[rt] = min(minv[rt << 1], minv[rt << 1 | 1]);
}

void build(int l, int r, int rt) {
if(l == r) {
int x; scanf("%d", &x);
        maxv[rt] = minv[rt] = x;
return;
    }
int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}

int query(int op, int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
return op ? maxv[rt] : minv[rt];
    }
int Max = -INF, Min = INF;
int m = l + r >> 1;
if(op) {
if(L <= m) Max = max(Max, query(op, L, R, lson));
if(R > m) Max = max(Max, query(op, L, R, rson));
    } else {
if(L <= m) Min = min(Min, query(op, L, R, lson));
if(R > m) Min = min(Min, query(op, L, R, rson));
    }
return op ? Max : Min;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

while(scanf("%d%d", &n, &q) == 2) {
        build(root);
while(q--) {
int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
int Max = query(1, x, y, root);
int Min = query(0, x, y, root);
printf("%d\n", Max - Min);
        }
    }
return 0;
}

2. 区间更新区间查询

HDU 1698 Just a Hook
update:区间更新

//
// Created by TaoSama on 2015-05-21
// Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1
int n, q, sum[N << 2], row[N << 2];

void push_up(int rt) {
    sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}

void push_down(int rt, int m) {
if(row[rt]) {
        sum[rt << 1] = row[rt] * (m - (m >> 1));
        sum[rt << 1 | 1] = row[rt] * (m >> 1);
        row[rt << 1] = row[rt << 1 | 1] = row[rt];
        row[rt] = 0;
    }
}

void build(int l, int r, int rt) {
    row[rt] = 0;
if(l == r) {
        sum[rt] = 1;
return;
    }
int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}

void update(int L, int R, int v, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
        sum[rt] = v * (r - l + 1);
        row[rt] = v;
return;
    }
    push_down(rt, r - l + 1);
int m = l + r >> 1;
if(L <= m) update(L, R, v, lson);
if(R > m) update(L, R, v, rson);
    push_up(rt);
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

int t; scanf("%d", &t);
int kase = 0;
while(t--) {
scanf("%d%d", &n, &q);
        build(root);
while(q--) {
int x, y, z; scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
            update(x, y, z, root);
        }
printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",
               ++kase, sum[1]);
    }
return 0;
}

POJ 3486 A Simple Problem with Integers
update:区间更新 query:区间求和

//
// Created by TaoSama on 2015-05-19
// Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;

#define root 1, n, 1
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

typedef long long LL;
int n, q;
LL sum[N << 2], add[N << 2];

void push_up(int rt) {
    sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}

void push_down(int rt, int m) {
if(add[rt]) {
        add[rt << 1] += add[rt];
        add[rt << 1 | 1] += add[rt];
        sum[rt << 1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
        sum[rt << 1 | 1] += add[rt] * (m >> 1);
        add[rt] = 0;
    }
}

void build(int l, int r, int rt) {
    add[rt] = 0;
if(l == r) {
scanf("%lld", &sum[rt]);
return;
    }
int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    push_up(rt);
}

void update(int L, int R, int v, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) {
        add[rt] += v;
        sum[rt] += (LL)v * (r - l + 1);
return;
    }
    push_down(rt, r - l  + 1);
int m = l + r >> 1;
if(L <= m) update(L, R, v, lson);
if(R > m)update(L, R, v, rson);
    push_up(rt);
}

LL query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if(L <= l && r <= R) return sum[rt];
    push_down(rt, r - l + 1);
int m = l + r >> 1;
    LL ret = 0;
if(L <= m) ret += query(L, R, lson);
if(R > m) ret += query(L, R, rson);
return ret;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

while(scanf("%d%d", &n, &q) == 2) {
        build(root);
while(q--) {
char op[2]; int x, y, z;
scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
if(op[0] == 'Q') printf("%lld\n", query(x, y, root));
else {
scanf("%d", &z);
                update(x, y, z, root);
            }
        }
    }
return 0;
}

POJ 2528 Mayor’s posters
update:区间更新 query:查询所有节点

HDU 4027 Can you answer these queries?
Tip: 多次开方后会变成1
update:区间更新 query:区间查询

ZOJ 1610 Count the Colors
update:区间染色(技巧) query:单点查询

3. 线段树区间合并

HDU 1540 Tunnel Warfare
这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间，经典的维护技巧

POJ 3667 Hotel

HDU 3308 LCIS

4. dfs序维护区间线段树

HDU 3974 Assign the task
维护树的区间可以使用dfs时间戳
update:区间更新 query:单点查询

5. 扫描线与线段树

HDU 1542 Atlantis
矩形面积并不用传递懒惰标记模拟一下就懂了
update:区间更新
POJ 1177 Picture
矩形周长并与上面那个题相似两种做法
第一种直接横着扫描一次再竖着扫描一次
第二种在横着扫描的时候再同时维护竖线的个数
update:单点增减 query:区间求和
HDU 1255 覆盖的面积
前面的与矩形面积并类似, 不同的是push_up的时候要考虑至少覆盖一次one和至少覆盖两次two的更新
update:区间更新

6. 线段树求第K大(其实就是在线段树上二分)

POJ 2886 Who Gets the Most Candies?

HDU 5592 BestCoder Round #65 C. ZYB’s Premutation

7. 高维线段树与多颗线段树

Uva 11992 Fast Matrix Operations
二维线段树，一道非常好的复习线段树的题目，包含了线段树所有基本操作

HDU 4267 A Simple Problem with Integers
多颗线段树，将零散的偏移量由线段树变为连续的

8. 线段树维护信息举例

POJ 3255 Help with Intervals
线段树与集合操作

Codeforces #321 E. Kefa and Watch
线段树维护字符串哈希值

秒客网

[置顶] 线段树小结

0. Anouncement

Ⅰ. 线段树

Ⅱ. 线段树的代码模版

Ⅲ. 线段树的题目讲解

1. 单点更新区间查询

2. 区间更新区间查询

3. 线段树区间合并

4. dfs序维护区间线段树

5. 扫描线与线段树

6. 线段树求第K大(其实就是在线段树上二分)

7. 高维线段树与多颗线段树

8. 线段树维护信息举例

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Ⅱ. 线段树的代码模版

Ⅲ. 线段树的题目讲解

1. 单点更新 区间查询

2. 区间更新 区间查询

3. 线段树区间合并

4. dfs序维护区间线段树

5. 扫描线与线段树

6. 线段树求第K大(其实就是在线段树上二分)

7. 高维线段树与多颗线段树

8. 线段树维护信息举例

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1. 单点更新区间查询

2. 区间更新区间查询