【jzoj5036】【原谅】【数学期望】【计算几何】

题目大意

给一个点集，每个点出现的概率都为p，求期望只在结点处相交最多能连多少条边。

解题思路

欧拉公式：在一个平面图内，设点数为V，边数为E，有界面数为F一定满足：V+F-E=1。

将点三角剖分，一定是最优，这时2E=3F+K，K为凸包上边的条数。

整理得E=3V-K-3。由于期望的线性性，点的期望为N*p，凸包上边的期望等于每条边在凸包上期望的和，枚举一条边，张一个最大小于180度的角，中间的点可选可不选，外侧的点一定不选，统计答案即可。

注意V=0时K=0，不满足公式，加上3*这种情况出现的概率。

code

#include<set>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LF double
#define LL long long
#define Min(a,b) ((a<b)?a:b)
#define Max(a,b) ((a>b)?a:b)
#define Fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define Fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define For(i,j) for(int i=Begin[j];i;i=Next[i])
using namespace std;
int const Mxn=1000+9,Mo=1e8+7;
LL N,P,Pow[Mxn];
struct Rec{
    LF X,Y;
    Rec(LF XX=0,LF YY=0){
        X=XX;Y=YY;
    }
};
bool Cmp(Rec X,Rec Y){
return atan2(X.Y,X.X)<atan2(Y.Y,Y.X);
}
Rec operator-(Rec X,Rec Y){
return Rec(X.X-Y.X,X.Y-Y.Y);
}
LF Cross(Rec X,Rec Y){
return X.X*Y.Y-X.Y*Y.X;
}
Rec A[Mxn],B[Mxn];
int main(){
//freopen("forgive.in","r",stdin);
//freopen("forgive.out","w",stdout);
    freopen("d.in","r",stdin);
    freopen("d.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&N,&P);
    Fo(i,1,N)scanf("%lf%lf",&A[i].X,&A[i].Y);
    Pow[0]=1;
    Fo(i,1,N)Pow[i]=Pow[i-1]*(1-P+Mo)%Mo;
    LL Ans=3*N*P%Mo-3;
    Fo(i,1,N){
int Tmp=0,k=1;
        Fo(j,1,N)if(i!=j)B[++Tmp]=A[j]-A[i];
sort(B+1,B+N,Cmp);
        LF x1=atan2(1,-1),x2=atan2(0,-1);
        Fo(j,1,N-1){
while((Cross(B[j],B[((k==N-1)?1:k+1)])>0)&&(((k==N-1)?1:k+1)!=j))
                k=(k==N-1)?1:k+1;
            Ans=(Ans-Pow[N-(((k<j)?k+N-1:k)-j+2)]*P%Mo*P)%Mo;
if(j==k)k=(k==N-1)?1:k+1;
        }
    }
printf("%lld",((Ans+3*Pow[N])%Mo+Mo)%Mo);
return 0;
}