在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
一、最小二乘法原理
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。设x和y的函数关系由理论公式
y＝f（x；c1，c2，……cm） （0-0-1）
给出，其中c1，c2，……cm是m个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。都对应于xy平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取m组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组
yi＝f（x；c1，c2，……cm） （0-0-2）
式中i＝1，2，……，m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。显然N<m时，参数不能确定。
在N>m的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y的观测值yi围绕着期望值 <f（x；c1，c2，……cm）> 摆动，其分布为正态分布，则yi的概率密度为
式中
取似然函数L最大来估计参数C，应使
取最小值：对于y的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子
根据式（0-0-3）的要求，应有
从而得到方程组
解方程组（0-0-4），即得m个参数的估计值
然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若yi服从正态分布，可引入拟合的x2量，
把参数估计
可以证明，
由x2分布得知，随机变量
二、直线的最小二乘拟合
曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系由直线方程
y＝a0+a1x (0-0-7)
给出。式中有两个待定参数，a0代表截距，a1代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（xi，yi），i＝1，2……，N，xi值被认为是准确的，所有的误差只联系着yi。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。
1．直线参数的估计
前面指出，用最小二乘法估计参数时，要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，由式（0-0-3）可使
最小即对参数a（代表a0，a1）最佳估计，要求观测值yi的偏差的平方和为最小。
根据式（0-0-8）的要求，应有
整理后得到正规方程组
解正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计值
2．拟合结果的偏差
由于直线参数的估计值
首先讨论测量值yi的标准差S。考虑式（0-0-6），因等精度测量值yi所有的
已知测量值服从正态分布时，
由此可得yi的标准偏差
这个表示式不难理解，它与贝塞尔公式是一致的，只不过这里计算S时受到两参数
式（0-0-13）所表示的S值又称为拟合直线的标准偏差，它是检验拟合结果是否有效的重要标志。如果xy平面上作两条与拟合直线平行的直线
如图0-0-1所示，则全部观测数据点（xi，yi）的分布，约有68.3%的点落在这两条直线之间的范围内。
图0-0-1 拟合直线两侧数据点的分布
下面讨论拟合参数偏差，由式（0-0-10）和（0-0-11）可见，直线拟合的两个参数估计值
把式（0-0-10）与（0-0-11）分别代入上两式，便可计算得
三、相关系数及其显著性检验
当我们把观测数据点（xi，yi）作直线拟合时，还不大了解x与y之间线性关系的密切程度。为此要用相关系数ρ（x，y）来判断。其定义已由式（0-0-12）给出，现改写为另一种形式，并改用r表示相关系数，得
式中