二项分布的期望方差证明

二项分布的期望方差证明

P(X=k)=(nk)pkqn−k,k=0,1,2,..,n,q=1−pEX=∑k=0nk(nk)pkqn−k=∑k=1nk(nk)pkqn−k=∑k=1nkn!k!(n−k)!pkqn−k=np∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1q(n−1)−(k−1)=np∑k=1n(n−1k−1)pk−1q(n−1)−(k−1)=np[(n−10)p0qn−1+(n−11)p1qn−2+...+(n−1n−1)pn−1q0]=np

因为： DX=EX2−(EX)2

且，
EX2=∑k=1nk2(nk)pkqn−k,k=0,1,2,..,n,q=1−p=∑k=1n[k(k−1)+k](nk)pkqn−k=∑k=1nk(k−1)(nk)pkqn−k+∑k=1nk(nk)pkqn−k其中，∑k=1nk(nk)pkqn−k=EX=np∑k=1nk(k−1)(nk)pkqn−k=∑k=1nk(k−1)n!k!(n−k)!p2pk−2qn−k=∑k=2nk(k−1)n!k!(n−k)!p2pk−2qn−k注：特别注意这里k=1时项为0，所以可以从k=2开始计算。=∑k=1nn(n−1)(n−2)!(k−2)!(n−k)!p2pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2∑k=2n(n−2)!(k−2)!(n−k)!pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2∑k=2n(n−2k−2)pk−2q[(n−2)−(k−2)]=n(n−1)p2→EX2=n(n−1)p2+np→DX=EX2−(EX)2=np−np2=np(1−p)

核心思想是转化为更小规模的组合数，这里没法直接用幂级数的和函数求解思路。