1010: [HNOI2008]玩具装箱toy [dp][斜率优化]

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

---

今天在省夏听了斜率优化dp

推式子&&结合数据结构搞了一晚上   QwQ

 //经过适当推式子可得当slope(j,k)>f[i] (j<k)时，k是优的
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int maxn=;

 int l=,r=,n,L;

 //用类似(其实就是？)单调队列的数据结构维护最大值，使状态O(1)转移
 long long s[maxn],f[maxn],dp[maxn],q[maxn];

 double slope(int a,int b){
     return (dp[a]-dp[b]+(f[a]+L)*(f[a]+L)-(f[b]+L)*(f[b]+L))/(2.0*(f[a]-f[b]));
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&L);  L++;
     //预处理数据，简化公式
     for(int i=;i<=n;i++)  scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-],f[i]=s[i]+i;
     for(int i=;i<=n;i++){
         //不优，pop队首
         while(l<r&&slope(q[l],q[l+])<=f[i])  l++;
         dp[i]=dp[q[l]]+(f[i]-f[q[l]]-L)*(f[i]-f[q[l]]-L);
         //不满足凸壳性质，pop队尾（维护下凸壳）
         while(l<r&&slope(q[r-],q[r])>slope(q[r],i))  r--;
         q[++r]=i;
     }
     printf("%lld\n",dp[n]);
     return ;
 }

盲目压行尽力压行一时爽（雾

 #include<cstdio>
 const int maxn=;
 int l=,r=,n,L;
 long long s[maxn],f[maxn],dp[maxn],q[maxn];
 double slope(int a,int b){  return (dp[a]-dp[b]+(f[a]+L)*(f[a]+L)-(f[b]+L)*(f[b]+L))/(2.0*(f[a]-f[b]));  }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&L);  L++;
     for(int i=;i<=n;i++)  scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-],f[i]=s[i]+i;
     for(int i=;i<=n;i++){
         while(l<r&&slope(q[l],q[l+])<=f[i])  l++;
         dp[i]=dp[q[l]]+(f[i]-f[q[l]]-L)*(f[i]-f[q[l]]-L);
         while(l<r&&slope(q[r-],q[r])>slope(q[r],i))  r--;
         q[++r]=i;
     }
     printf("%lld\n",dp[n]);
     return ;
 }