深度学习——优化算法[6]

目录

• mini-batch
• 指数加权平均
• 优化梯度下降法：momentum、RMSprop、Adam
• 学习率衰减
• 局部最优问题

一、mini-batch

mini-batch：把训练集划分成小点的子集

表示法	$x^{\{1\}}$	$x^{(1)}$	$x^{[1]}$
意义	第一个mini-batch	第一个样本	第一层的输入

• 为什么用mini-batch：当数据集样本数较多时，需要对整个数据计算完成后才能进行梯度下降，速度较慢
• epoch：一代，表示遍历了整个数据集（而不是一个子集）
• 使用mini-batch的梯度下降方法过程：每次以当前的一个mini-batch作为输入数据

for $t = 1,...,5000$ 　　//forward prop on 第t个minibatch，输入为$X^{\{t\}}$ 　　for $i=1...l$ //正向计算，共l层 　　　　$Z^{[i]}=W^iA^{[i-1]}+b^{[i]}$ 　　　　$A^{[i]}=g^{[i]}(Z^{[i]}$       //$A^{l}$为最后的输出结果      计算该mini-batch的cost $J^{\{t\}}=\frac{1}{1000}\sum \mathcal{L}(\widehat{y}^{j},y^{j})$ 　 反向计算求导$J^{\{t\}}$ 　 更新参数$W$$b$，$W^{[l]}:=W^{[l]}-\alpha dW^{[l]}$ $b^{[l]}:=b^{[l]}-\alpha db^{[l]}$

•  使用mini-batch的成本函数变化趋势：并不是每一次都下降，但是整体趋势是下降

• 选择min-batch的大小

太大的话每次迭代耗时太长，太小的话每次只处理少量效率低（失去了向量加速的优势）

当数据集比较小（小于2000）时，可以直接使用batch

当数据集比较大时，一般可以用的mini-batch大小：64，128，256， 512...（与CPU/GPU内存相匹配）

二、指数加权平均（指数加权移动平均）exponentially weighted average

例：伦敦的温度变化

$\theta_{1}=40^{\circ}F$ $\theta_{2}=49^{\circ}F$ $\theta_{3}=45^{\circ}F$ 　...

求解$v_{t}$：前$t$天的温度加权平均值。虽然$v_{t}$包含1~$t$天的温度，但是越接近第$t$天的权重会更大一点，而较前的就会接近0

$v_{0}=0$ $v_{1}=\beta v_{0} + (1-\beta )\theta_{1}$ $v_{2}=\beta v_{1} + (1-\beta )\theta_{2}$ ... $v_{t}=\beta v_{t-1} + (1-\beta )\theta_{t}$ 　 $=\beta^{t}\theta_{0}+\beta^{t-1}(1-\beta)\theta_{1}$     $+\beta^{t-2}(1-\beta)\theta_{2}+...+(1-\beta)\theta_{t}$

蓝色点为原始数据，其它为不同的$\beta$取值时，加权平均结果

• 应该平均多少天的温度？当某天温度的权重很低时就不用再考虑

$y=(1-\varepsilon)^{\frac{1}{\varepsilon}}$单调递减。当$\varepsilon=0.9$时，$y \approx \frac{1}{e}$。所以，当计算到第$\frac{1}{e}\approx 0.3$天时，温度会下降到当天的1/3以下，可忽略。因此，可以认为$v_{t}$是$\frac{1}{1-\beta}$天的温度加权平均值

• 做偏差修正bias correct

为什么需要：开始的时候设置$v_0=0$，容易导致前期的预测会比较实际的小很多，估计不准确

修正方法：$v'_{t}=\frac{v_{t}}{1-\beta^{t}}$，用$v'_{t}$来代替$v_{t}$。前期的值可以变大一些，而后期时$t$较大时，$\beta^{t}$趋于0，$v'_{t}$也就趋于$v_{t}$

下图中紫线为$v_{t}$，绿色为$v'_{t}$

三、优化梯度下降算法

• 标准梯度下降的问题（下图蓝线效果）：从一个随机的点开始进行梯度下降，可能会像蓝色部分波动比较大，下降速度慢；无法使用更大的学习率，因为可能会偏离函数范围

• • 优化手段：减少纵向的浮动，加快横向的移动，以及增大学习率

• 动量梯度下降法momentum
  • 优化：利用对梯度求指数加权平均的方法以加快训练的速度（上图红线效果）

    　　　通过求平均，可以把纵向的浮动抵消，而横向的变化依旧，从而加快下降速度

  • 具体实现：用加权平均值来代替当前的求导结果；实际中一般不用做偏差修正，大概10次迭代就过了初始期，不再是有偏差的结果；$\beta$取值为0.9

    for $t = 1...,$ 　　计算当前mini-batch的$dW, db$ 　　$v_{dW}=\beta v_{dW}+(1-\beta)dW$ 　　$v_{db}=\beta v_{db}+(1-\beta)db$ 　　$W:=W-\alpha v_{dW}$, $b:=b-\alpha v_{db}$

• RMSprop ： root mean square prop
  • 均方根：先对$dW$求平方，更新时又除以它的根方
  • 为什么有效果

　　　　假设$W$和$b$分别表示横向和纵向变化。

             如果要让纵向也就是$b$的变化慢一点（浮动小一些），也就是更新时减去的值小一些。可以发现原来纵向的变化较大（$db$较大），所以$\frac{1}{\sqrt{S_{db}}}$会小一点，由此可让$db$变化慢点

• • 具体实现：为了避免除数为0，一般可以加上$\varepsilon=10^{-8}$

for $t = 1,...$ 　　计算当前mini-batch的$dW,db$ 　　$S_{dW}=\beta_{2}S_{dW}+(1-\beta_{2})dW^{2}$ 　　$S_{db}=\beta_{2}S_{db}+(1-\beta_{2})db^{2}$ 　　$W:=W-\alpha \frac{dW}{\sqrt{S_{dW}}+\varepsilon}$, $b:=b-\alpha \frac{db}{\sqrt{S_{db}}+\varepsilon}$

• Adam算法 ：momentum与RMSprop的结合，常用的方法
  • 具体实现

$for t = 1,...$ 　　计算当前mini-batch人$dW,db$ 　　//momentum部分 　　$v_{dW}=\beta_{1} v_{dW}+(1-\beta_{1})dW$, $v_{db}=\beta_{1} v_{db}+(1-\beta_{1})db$ 　　//RMSprop部分 　　$S_{dW}=\beta_{2}S_{dW}+(1-\beta_{2})dW^{2}$, $S_{db}=\beta_{2}S_{db}+(1-\beta_{2})db^{2}$ 　　//偏差修正 　　$v^{corrected}_{dW}=\frac{v_{dW}}{1-\beta_{1}^{t}}$,$v^{corrected}_{db}=\frac{v_{db}}{1-\beta_{1}^{t}}$ 　　$S^{corrected}_{dW}=\frac{S_{dW}}{1-\beta_{2}^{t}}$, $S^{corrected}_{db}=\frac{S_{db}}{1-\beta_{2}^{t}}$ 　　//更新 　　$W:=W-\alpha \frac{v_{dW}^{corrected}}{\sqrt{S_{dw}{corrected}}+\varepsilon}$, $b:=W-\alpha \frac{v_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}{corrected}}+\varepsilon}$

• • 超参数选择

$\alpha$学习率	$\beta_{1}$用于momentum	$\beta_{2}$用于RMSprop	$\varepsilon$
需要调	0.9	0.999	$10^{-8}$

四、学习率衰减：随时间逐渐减少学习率

为什么：如果一直用比较大的学习率，当靠近最小值时，结果可能会在较大范围内进行浮动（不易收敛），而不是在很接近最小值的小范围内变化

重要性：不是最开始的重点，可以先设置一个固定的，先调整其它的，后期再进行调整

学习率衰减的方式

• $\alpha = \frac{1}{1+decay-rate*epoch-num}\alpha_{0}$
• $\alpha=0.95^{epoch-num}\alpha_{0}$   指数衰减
• $\alpha=\frac{k}{\sqrt{epoch-num}}\alpha_{0}$
• 每过一段时间，对学习率减半（离散下降discrete staircase）

五、局部最优问题

• 局部最优问题：在做梯度下降时，会不会最后是趋于局部最优的解，而非最优解？
• 答：这不是一个大问题，要找到一个局部最优点，需要它在各个维度都是最优的（比如都是凹/凸）。当维度比较大时，这种情况很难遇到。不过，鞍点还是比较容易遇到的
• 鞍点：在某个位置，各维导数均为0，但是凹凸性不是完全一致的。如下图右侧

• 应该考虑的问题：存在平滑导致梯度下降变化慢的问题
• 解决方法：利用上面提到的几种优化方法来加快