一.题目链接：https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/
二.题目大意：
给定一个没有排序的数组，要求从该数组中找到一个最长的递增子序列，并返回其长度。(递增子序列可以是不连续的)
注：子序列和子字符串或者连续子集的不同之处在于，子序列不需要是原序列上连续的值。
三.题解：
寻找最长递增子序列问题 (LIS)，是一道比较经典的问题，该问题的解法也比较多，此处我只用了两种方法实现，所以不本无也主要陈述这两种算法。
方法1：
利用动态规划解决 (最容易想到的算法)，时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)，基本思想如下：
(1)定义一个数组dp，其中dp[i]表示nums数组中，以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。dp数组的所有元素的初值为1。
(2)接下来对dp数组进行维护更新，从nums的首元素nums[0]开始遍历，对所有排在nums[i]元素之前的元素,如果$ dp[j]+1 > dp[i] $，则$dp[i] = dp[j] + 1$，所以状态转方程为
$$ dp[i] = \begin{cases} \max\{dp[i],dp[j]+ 1\} ,& {j < i} \\ dp[i] , & {j ≥ i} \end{cases} $$
(3)在dp数组的更新过程中，记录其最大的元素值，最终结果即该值。
代码如下：
class Solution
{
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
{
int len = nums.size();
int rs = 0;
if(len == 0)
return 0;
vector<int>dp(len,1);//初始化dp数组
for(int i = 0; i < len; i++)
{
for(int j = 0; j < i; j++)
if(nums[i] > nums[j])
dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);//更新当前位置元素的dp
rs = max(rs,dp[i]);//每次更新dp[i]时，记录最大值
}
return rs;
} };
方法2：
利用二分查找的思想，时间复杂度为O(NlogN)，空间复杂度为O(N)。该算法的想如下：
(1)定义一个tail数组，其中tail[i]表示数组nums中长度为i+1的递增子序列中末尾元素最小的那个子序列的末尾元素，例如：
len = : [], [], [], [] => tails[] =
len = : [, ], [, ] => tails[] =
len = : [, , ] => tails[] =
(2)很显然，tail数组一定是个递增的有序数组，tail数组的初始大小为1，初始元素我们定义为nums[0] (也可以定义为nums中其他值,但最好是nums[0]，因为数组的长度可能为1)，对于其更新过程，详细如下：
1.遍历数组nums中的每一元素nums[i]，如果nums[i] < tail[0]的话，令tail[0] = nums[i]；
2.如果 nums[i] 大于taIl数组的租后一个元素的话 (由于tail数组时递增的，相当于大于tail数组中所有的元素)，此时将tail数组的size加1，并令nums[i]为tail数组中新的尾元素。
3.如果nums[i]不满足1和2中的情况的话，那就利用二分法从tail数组中找到处第一个大于nums[i]的元素的位置 (假设为K),则更新tail数组，令tail[K] = nums[i]。
最终tail数组的大小，就是最长递增子序列的长度 (根据tail数组所表示的意思可知)，但是tail数组中的元素构成的序列并不一定是一个最长递增子序列，只是数组大小等于LIS的长度而已。
具体的代码如下：
class Solution
{
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
{
int len = nums.size();
if(len == 0)
return 0;
vector<int>tail;
tail.push_back(nums[0]);//初始化tail数组，一开始长度为1
for(int i = 0; i < len; i++)
{
if(nums[i] < tail[0]) //更新tail数组首元素
tail[0] = nums[i];
else if(nums[i] > tail.back())//更新tail数组尾元素
tail.push_back(nums[i]);
else//更新tail1数组其他位置的元素，即找到第一个大于等于nums[i]的元素
{
int left = 0, right = tail.size() - 1;
while(left <= right)//利用二分法找到第一个大于等于nums[i]的元素的位置，并进行更新
{
int mid =left + (right - left) / 2;//防止溢出
if(tail[mid] >= nums[i])
right = mid - 1;
else
left = mid + 1;
}
tail[left] = nums[i]; //left即第一个大于等于nums[i]的元素的位置
}
}
return tail.size();//最终tail数组的大小即所求的结果
} };
注：此处的tail数组实质为一个动态数组，所以用vector来实现最好不过了。
利用二分法查找数组中第一个大于等于key的问题实质为二分查找的变种。