一、树的定义
之前我们讨论的基本上都是一对一的线性结构，可是现实中还有很多一对多的线性结构。那么今天我们来谈一谈一种很重要的一对多的线性结构 — 树，那么什么是树呢？我们来看看树的定义：
树( Tree ) 是 n ( n >= 0 ) 个结点的有限集。 n = 0 时称为空树。 在任意一棵非空树中:
(1) 有且仅有一个特定的称为根 ( Root )的结点:
(2) 当 n > 1 时，其余结点可分为 m ( m > 0 ) 个互不相交的有限集 T1、 T2、……、 Tm。其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树( SubTree )。造型如图所示：
对于树的定义还需要强调两点:
- n > 0 时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一个根结点。
- m > 0 时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。如下图中的两个结构就不符合树的定义，因为它们都有相交的子树。
1、结点分类
树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。 结点拥有的子树数称为结点的度 (Degree)。度为 0 的结点称为叶结点(Leaf) 或终端结点；度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如下图所示， 因为这棵树结点的度的最大值是结点 D 的度，为3，所以树的度也为 3。
2、结点间的关系
结点的子树称为该结点的孩子(Child) ，相应地，该结点称为孩子的双亲 (Parent) 。恩，为什么不是父或母，叫双亲呢？哈哈，对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。 同一个双亲的孩子之间直称兄弟 (Sibling)。 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。所以对于 H 来说， D、B、A 都是它的祖先。 反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。 B的子孙有 D、G、H、I，如下图所示。
3、树的其它概念
结点的层次 (LeveI) 从根开始定义起，根为第一层， 根的孩子为第二层。若某结点在第 I 层，则其子树的根就在第 I + 1 层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然下图中的 D、E、F 是堂兄弟，而 G、H、 l、 J 也是。树中结点的最大层次称为树的深度 (Depth)或高度，当前树的深度为 4。
如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
对比线性表与树的结构，它们有很大的不同
| 线性结构 | 树结构 |
|---|---|
| 第一个数据元素：无前驱； 最后一个数据元素：无后继； 中间元素：一个前驱一个后继 | 根结点：无双亲，唯一 ；叶结点：无孩子，可以多个；中间结点：一个双亲多个孩子 |
二、树的存储结构
说到存储结构，就会想到我们前面章节讲过的顺序存储和链式存储两种结构。
先来看看顺序存储结构，用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。这对于线性表来说是很自然的，对于树这样一多对的结构呢?
树中某个结点的孩子可以有多个，这就意味着，无论按何种顺序将树中所有结点存储到数组中，结点的存储位置都无法直接反映逻辑关系，你想想看，数据元素挨个的存储，谁是谁的双亲，谁是谁的孩子呢？简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的。
不过充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。我们这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。
双亲表示法
我们人可能因为种种原因，没有孩子，但无论是谁都不可能是从石头里蹦出来的，孙悟空显然不能算是人，所以是人一定会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。它的结点结构如图所示：
其中 data 是数据域，存储结点的数据信息。而 parent 是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。
有了这样的结构定义，我们就可以来实现双亲表示法了。由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1 ，这也就意味着，我们所有的结点都存有它双亲的位置。如下图表示所示。
这样的存储结构，我们可以根据结点的 parent 指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为 0(1) ，直到 parent 为 -1 时，表示找到了树结点的根。可如果我们要知道结点的孩子是什么，对不起，请遍历整个结构才行。
能不能改进下呢？可以的
我们增加一个结点最左边孩子的域，不妨叫它长子域，这样就可以很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为-1 ，如下图所示。
对于有 0 个或 1 个孩子结点来说， 这样的结构是解决了要找结点孩子的问题了。 甚至是有 2 个孩子， 知道了长子是谁，另一个当然就是次子了。
另外一个问题场景，我们很关注各兄弟之间的关系，双亲表示法无法体现这样的关系，那我们怎么办？嗯，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，也就是说，每一个结点如果它存在右兄弟，则记录下右兄弟的下标。同样的，如果右兄弟不存在，则赋值为 -1，如下图所示。
但如果结点的孩子很多，超过了 2 个。 我们又关注结点的双亲、又关注结点的孩子、还关注结点的兄弟，而且对时间遍历要求还比较高，那么我们还可以把此结构扩展为有双亲域、长子域、再有右兄弟域。 存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一 个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。
孩子表示法
换一种完全不同的考虑方法. 由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。 所以可以设计两种方案来解决。
方案一
一种是指针域的个树就等于树的度，复习一下，树的度是树各个结点度的最大值。其结构如下表所示。
其中 data 是数据域。 child1 到 childd 是指针域，用来指向该结点的孩子结点。
根据上面的树结构，这种方式的实现如图：
这种方法对于树中各结点的度相差很大时，显然是很浪费空间的，因为有很多的结点，它的指针域都是空的。不过如果树的各结点度相差很小时，那就意味着开辟的空间被充分利用了，这时存储结构的缺点反而变成了优点。
方案二
第二种方案每个结点指针域的个数等于该结点的度，我们专门取一个位置来存储结点指针域的个数，其结构如图所示。
其中 data 为数据域， degree 为度域，也就是存储该结点的孩子结点的个数， child1 到 childd 为指针域，指向该结点的各个孩子的结点。
结构实现，如下图所示：
这种方法克服了搜索空间的缺点，对空间利用率是很高了，但是由于各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上就会带来时间上的损耗。
能否有更好的方法，既可以减少空指针的浪费又能使结点结构相同。
仔细观察，我们为了要遍历整棵树，把每个结点放到一个顺序存储结构的数组中是合理的，但每个结点的孩子有多少是不确定的，所以我们再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系。
这就是我们要讲的孩子表示法。 具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来， 以单链表作存储结构，则 n 个结点有 n 个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后 n 个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如图所示：
为此，设计两种结点结构， 一个是孩子链表的孩子结点
其中 child 是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。 next 是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。
另一个是表头数组的表头结点
其中 data 是数据域，存储某结点的数据信息。 firstchild 是头指针域， 存储该结点的孩子链表的头指针。
这样的结构对于我们要查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。
但是，这也存在着问题，我如何知道某个结点的双亲是谁呢?比较麻烦，需要整棵树遍历才行，难道就不可以把双亲表示法和孩子表示法综合一下吗?当然是可以。
我们把这种方法称为双亲孩子表示法，应该算是孩子表示法的改进。
孩子兄弟表示法
刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度又会如何呢? 当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树， 它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。 因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。
其中 data 是数据域， 自firstchild 为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址， rightsib 是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过 fistchiid 找到此结点的长子，然后再通过长子结点的 rightsib 找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。当然，如果想找某个结点的双亲，这个表示法也是有做陷的，那怎么办呢?
哈哈，对，如果真的有必要，完全可以再增加一个 parent 指针域来解决快速查找双亲的问题， 这里就不再细谈了。