n个点m条边构成的简单无相连通图个数

时间：2021-05-15 12:38:18

n个点m条边构成的简单无相连通图个数


今天思考这个问题，上网查询发现资料甚少 （BJ没找到。。。）

所以解决这个了问题，就来写一篇blog


先讲下 代码都是用数学方法检验后好好拍过的，正确性不必担心 为了方便测大数据 加了mod


对于这个问题 我们先不思考正解

先给个暴力

做法是枚举所有的边是否选，之后判断连通性

可以跑到点数<=8的图


//没好好打 将就看吧。。。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<string>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;

typedef long long ll;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
void print(int x)
{if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>=10)print(x/10);putchar(x%10+'0');}

const int N=100100,mod=int(1e9)+7;

int n,m,tot,ans;
int U[N],V[N],fa[N],d[N];


inline int find(int x)
{
	while(fa[x]^x)x=fa[x];
		return x;
}

inline void merger(int x,int y)
{
	if(d[x]==d[y])
	{
		fa[x]=y;
		d[y]++;
		return ;
	}
	if(d[x]>d[y])swap(x,y);
		fa[x]=y;
}

inline bool check()
{
	int tmp=find(1);//cout<<tmp<<endl;
	for(int i=2;i<=n;++i)if(find(i)^tmp)return 0;
		return 1;
}

void dfs(int step,int now)
{
	if(now==m)
	{
		if(check())ans++;ans%=mod;
		return ;
	}
	if(step>tot)return ;
		dfs(step+1,now);
		int pre[4];
		pre[0]=find(U[step]);pre[1]=find(V[step]);
		pre[2]=d[pre[0]];pre[3]=d[pre[1]];//cout<<pre[0]<<" "<<pre[1]<<endl;
		if(pre[0]^pre[1])
		{
			merger(pre[0],pre[1]);
		}
		dfs(step+1,now+1);
		fa[pre[0]]=pre[0];fa[pre[1]]=pre[1];
		d[pre[0]]=pre[2];d[pre[1]]=pre[3];
}

int solve()
{
	n=read();m=read();
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)fa[i]=i;
	ans=0;
	for(i=1;i<=n;++i)
	for(j=i+1;j<=n;++j)
	{
		U[++tot]=i;V[tot]=j;
	}//cout<<tot<<endl;
	if(n==1)
	{
		puts("0");return 0;
	}
	dfs(1,0);
	cout<<ans<<endl;return 0;
}
int main()
{//freopen("data.in","r",stdin);freopen("pai.out","w",stdout);
	solve();/*
	for(i=2;i<=10;++i)
	{cout<<i<<" ";
		cout<<solve(i)<<endl;
	
	}*/
	return 0;
}
/*
5 4

*/

之后我们来说正解

我最开始想的是在一个已经连通的n-1个点的图中插入点，再加上n-1个不连通加上该点连通的方案数

然后发现不是很好做，果断弃掉


之后可以怎么搞呢

考虑逆向思维

用所有方案减去不合法方案

具体是什么样子呢？

令E(i)表示点数为i的完全图边数

f(i,j)表示i个点j条边的简单无相连通图个数

我们枚举1号点所在联通块的大小为a及其内部的边数为b

所以就有如下的式子

n个点m条边构成的简单无相连通图个数


然后代码是酱紫的


//经过测试发现组合数前面那句m>n很重要啊

//虽然我并不觉得它会越界 捂脸熊

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<string>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;

typedef long long ll;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
void print(int x)
{if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>=10)print(x/10);putchar(x%10+'0');}

const int N=110,M=100100,mod=int(1e9)+7;

int f[N][N],e[N];

int fac[M],inv[M];

void initial()
{
	register int i;
	for(i=1;i<N;++i)e[i]=1ll*i*(i-1)>>1;
	fac[0]=1;for(i=1;i<M;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[1]=1;for(i=2;i<M;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
	inv[0]=1;for(i=1;i<M;++i)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
}

inline int C(int n,int m)
{if(m>n)return 0;return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}

int main()
{//freopen("data.in","r",stdin);freopen("dui.out","w",stdout);
	int n=read(),m=read();
	register int i,j,a,b;
	initial();
	f[1][0]=1;
	for(i=2;i<=n;++i)
	{
		for(j=i-1;j<=min(e[i],m);++j)
		{
			f[i][j]=C(e[i],j);
			for(a=1;a<=i-1;++a)
			{
				for(b=a-1;b<=min(e[a],j);++b)
				{
					f[i][j]=(1ll*f[i][j]-1ll*f[a][b]*C(e[i-a],j-b)%mod*C(i-1,a-1)%mod+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m]<<endl;
}

这是今天在cnblog和一个盆友讨论的问题

给下他的blog地址http://www.cnblogs.com/CXSheng/



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