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1、第一范式(1NF)
关系模式的所有域为简单域，其元素(即属性)不可再分，
是属性项而不是属性组。
例4.5.1： 
例4.5.2：工资(工号，姓名，工资(基本工资，年绩津贴，煤电补贴))
△ 不满足1NF的关系称为非规范化关系。
△ 关系数据模型不能存储上两个例子（非规范化关系），
在关系数据库中不允许非规范化关系的存在。
△ 转化方法：
(1) A1,A2,A3,…，Ak1，Ak2，…,An
(2) 工资(工号,姓名,基本工资,津贴,奖金)
2、第二范式（2NF）：
给定关系模式R及其上的函数依赖集F，
如果R的任何一个非主属性都完全依赖于它的每一个侯选关键字，
则称R是第二范式，简记为2NF。
△ 若关系模型H包含的每一关系模式都是2NF的，则称该关系模型是2NF的。
△ 2NF∈1NF
例4.5.3：
SCT（SNO,CNO,CN,GRADE,TNAME,BDATE,SALARY）
F={SNO,CNO→GRADE
CNO→CN,CNO→TNAME
TNAME→BDATE,TNAME→SALARY} 非2NF
存在问题：1.数据冗余；2.插入，删除异常 3.修改麻烦。
原因：非主属性部分依赖于侯选关键字，
关键字是一个元组区别其它元组的依赖，
同时也是一个元组赖以存在的依据。
分解为：SC (SNO,CNO,GRADE),CT(CNO,CN,TNAME,BDATE,SALARY)
例4.5.4：
R=(ABCD,{AB→C，C→D})
答案：R为2NF
3、第三范式（3NF）
给定关系模式R及其上的函数依赖集F，
如果R的任何一个非主属性都不传递依赖于它的任何一个侯选关键字，
则称R是第三范式，简记为3NF。
△ 若关系模型H包含的每一关系模式都是3NF的，则称该关系模型是3NF的。
△ 定理：一个3NF的关系(模式)必定是2NF的(3NF∈2NF∈1NF) 。
证明：如果一个关系(模式)不是2NF的，那么必有非主属性Aj，
候选关键字X和X的真子集Y存在，使得Y→Aj。由于Aj是非主属性，
故Aj-(XY)≠Φ，Y是X的真子集，所以Y X，
这样在该关系模式上就存在非主属性Aj传递依赖候选关键字X(X→Y→Aj)，
所以它不是3NF的，证毕。
例4.5.4：CT（CNO,TNAME,BDATE,SALARY）
解：不能存放不开课的教师，教师信息和课程数一样多。
原因：传递函数依赖
R={City,St,Zip}
F={(City,St)→Zip,Zip→City} 3NF
CT(CNO,TNAME, BDATE, SALARY）非3NF
分解为：C(CNO,CNAME,TNAME), T(TNAME,BDATE,SALARY) 3NF
4、BCNF（改进的3NF）
给定关系模式R及其上的函数依赖集F,如果R的任意两个子集X、Y，
当非平凡函数依赖X→Y为F所蕴涵，则决定因素X中
必含有侯选关键字或X为超关键字，则称R是Boyde/Codd范式，
简记为BCNF。
BCNF的内涵：
(1)非主属性对关键字完全函数依赖
(2)主属性对不含它的关键字完全函数依赖
(3)没有属性完全函数依赖于一组非主属性
(4)主属性不传递依赖于任何一个侯选关键字
(5)非主属性不传递依赖于任何一个侯选关键字
△ 定理： BCNF满足3NF (BCNF∈3NF∈2NF∈1NF)
反证法：
R∈BCNF，但R∈BCNF
设存在非主属性A，关键字X以及属性组Y，使得X→Y，Y→X，Y→A，
由BCNF有Y→A，则Y为关键字，于是有Y→X，这与YX矛盾。
例4.5.6：
R={S，T，J}
F={T→J，ST→J，SJ→T}非BCNF
C(CNO,CNAME,TNAME),T(TNAME,BDATE,SALARY) BCNF
分解为：ST(S,T), TJ(T,J)
5、总结：
3NF→BCNF:消除主属性对侯选关键字的部分和传递函数依赖
2NF→3NF :消除非主属性对侯选关键字的传递函数依赖
1NF→2NF :消除非主属性对侯选关键字的部分函数依赖
6、规范化的基本思想
逐步消除不合适的函数依赖，使数据库中的各个关系模式
达到某种程度的分离。
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1、分解的基本要求
分解后的关系模式与分解前的关系模式等价，
即分解必须具有无损联接和函数依赖保持性。
2、目前分解算法的研究结论
(1) 若要求分解具有无损联接性，那么分解一定可以达到BCNF。
(2) 若要求分解保持函数依赖，那么分解可以达到3NF，
但不一定能达到BCNF。
(3) 若要求分解既保持函数依赖，又具有无损联接性，
那么分解可以达到3NF，但不一定能达到BCNF。
3、面向BCNF且具有无损联接性的分解(算法1)
输入：关系模式R及其函数依赖集F。
输出：R的一个无损联接分解，其中每一个子关系模式都满足
F在其上投影的BCNF。
算法实现：
反复运用逐步分解定理，逐步分解关系模式R，
使得每次分解都具有无损联接性，而且
每次分解出来的子关系模式至少有一个是BCNF的，
即：
1）置初值ρ={R}；
2）检查ρ中的关系模式，如果均属BCNF，则转4）；
3）在ρ中找出不属于BCNF的关系模式S，那么必有X→A∈F+，
（A不包含于X），且X不是S的关键字。因此XA必不包含
S的全部属性。把S分解为{S1，S2}，其中S1=XA，S2=(S-A)X，
并以{S1，S2}代替ρ中的S，返回2）
4）终止分解，输出ρ。
定理：算法1正确
证明：在上述算法的第3)步，
⑴由于S1∩S2=X，S1-S2=A，而且满足X→A∈F，
S分解为{S1，S2}具有无损联接性。
⑵由于R中的属性有限，S1和S2所包含的属性个数都有比S少，
所以经过有限次迭代，算法一定终止，ρ的每一个关系模式都满足BCNF，
由于每步分解都具有无损联接性，最后分解当然是无损联接的。
例4.5.7：
R=(ABCD,{BC→A}),分解R使分解后的关系达到BCNF且具有无损联接性。
答案：R1=(ABC, {BC→A}), R2=(BCD, {Ф})
例4.5.8：
无损联接地将CTHRSG分解为一组BCNF的关系模式，
其中：C表示课程，T表示教师，H表示时间，R表示教室，
S表示学生，G表示成绩。
函数依赖集F及其所反映的语义分别为：
C→T 每门课程仅有一位教师担任。
HT→R 在任一时间，一个教师只能在一个教室上课。
HR→C 在任一时间，每个教室只能上一门课。
HS→R 在任一时间，每个学生只能在一个教室听课。
CS→G 每个学生学习一门课程只有一个成绩。
解：1) 关系模式CTHRSG侯选关键字为：HS；
由CS不包含侯选关键字，CS→G，
分解CTHRSG为CSG和CTHRS，并求得CSG和CTHRS上函数依赖最小集：
F11=πCSG(F) ={ CS→G }
F12=πCTHRS(F)={HS→R,HT→R,C→T,HR→C}
CSR(CSG,{CS→G})(BCNF)
CTHRS(CTHRS,{HS→R,HT→R,C→T,HR→C})
ρ={CSG, CTHRS}
2) 关系模式CTHRS侯选关键字为：HS；
由C不包含侯选关键字，C→T，
分解CT为CSG和CHRS，并求得CT和CHRS上函数依赖最小集：
CT(CT,{C→T})(BCNF)
CHRS(CHRS,{HS→R,HT→R,HR→C})
ρ={CSG,CT, CHRS}
3) 关系模式CHRS侯选关键字为：HS；
由HR不包含侯选关键字，HC→R，
分解CT为CSG和CHRS，并求得CT和CHRS上函数依赖最小集：
CHR(CH,{HC→R,HR→C})(BCNF)
CHS(HS,{HS→C})(BCNF)
4) ρ={CSG,CT,CHR,CHS}
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一、范式 