算法——递推算法

递推算法

给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。

递推算法是一种简单的算法，即通过已知条件，利用特定关系得出中间推论，直至得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。

相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,而直接从边界出发,直到求出函数值.
比如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1)
在f(3)的运算过程中,递归的数据流动过程如下:
f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}
而递推如下:
f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)
由此可见,递推的效率要高一些,在可能的情况下应尽量使用递推.但是递归作为比较基础的算法,它的作用不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。

顺推法

所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的方法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f(n),已知f(1)=1，f(2)=1;f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>=3,n∈N)。则我们通过顺推可以知道,f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3……直至我们要求的解。

逆推法

所谓逆推法从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。

递推算法的经典例子

【案例】从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。恰好走N步且不经过已走的点共有多少种走法？

样例输入：N=2

样例输出：result=7

样例输入：N=3

样例输出：result=17

解题思路：要解决走N步共有多少种走法，我们在拿到题目的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。。。。。N=n时对应走法的图例，由简单到复杂、由特殊到一般的推理过程，找出规律获得解题的思路。在数学上，我们称为归纳法。如果用编程的方法来求解这样的推理题，我们把这样的求解思路（算法）称之为递推法。递推的精髓在于f（n）的结果一般由f(n-1)、f(n-2)…..f(n-k)的前k次结果推导出来。我们在解决这类递推问题时，难点就是如何从简单而特殊的案例，找到问题的一般规律，写出f（n）与f(n-1)、f(n-2)…..f(n-k)之间的关系表达式，从而得出求解的结果。在历年noip的复赛当中，参赛选手对于这类题目都有这样的感受，往往花费了大量的时间来分析题目的一般规律，写出f（n）的一般表达式，而编程实现可能只需要几分钟的时间。所以我们在平时训练的时候，对于这样的递推题目，就必须掌握如何分析问题，从特殊推导出一般的规律，写出想要的关系表达式，问题就迎刃而解了。下面是这道题解题的心得，供大家参考：

（1）当N=1时，绘出走法图

（图1）共有3种不同的走法，也就是黑色线条的数量，即f(1)=3

（2）当N=2时，绘出走法图

（图2）共有7种不同的走法，也就是绿色线条的数量，即f(2)=7

（3）当N=3时，绘出走法图

（图3）共有17种不同的走法，也就是红色线条的数量，即f(3)=17

由此，我们不难看出，对于任何一个起点，最多可以走出3种走法，但最少必须走出2种走法。那么我们要求出f(n)，实际上转换为如果我们能够得到上一步即f（n-1）有多少个终点是有3种走法的，有多少个点有2种走法的，那么问题就解决了。

a. 上一步，即f（n-1）有多少个终点是有3种走法的。

       对于N=3时，f(n-1)=f(2), 有3个点A、B、C可以走出3种不同走法的，这3个点是怎么得到的呢？它的存在与N值有没有必然的联系？如果我们能找到它与N之间的关系，问题也就解决了。有了这样的思路以后，我们不难找到这样的规律：如果f（n-2）存在，即上上步存在，那么从上上步出发的线路里面必然会有一条向上走的线路，而这条向上走的线路在到达f（n-1）之后，  向f（n）出发时也必然有左、上、右这三种走法，那么我们就得出了这样的结论：当f（n-2）存在时，f（n-2）的值实际上就等价于f（n-1）有多少个终点是有3种走法。

         b.    f（n-1）有多少个终点是有2种走法的

对于N=3时，有4个点D、E、F、G可以走出2种不同走法的，这4个点又是怎么得到的呢？它与N值有什么联系呢？ 实际上我们在解决了上一个问题的时候，这个问题就变得相当容易了， f（n-1）减掉刚才有3种走法的点，剩下的点不就是只有2种走法了吗？即f（n-1）-f（n-2）。

    c. 得出f（n）的一般关系式

f(n)=3*f(n-2)+2*(f(n-1)-f(n-2) ) (n>=3)

化简：

f(n)=2*f(n-1)+f(n-2) (n>=3)

      有一点需要补充的就是，任何递推题，都会有临界条件。当N=1时，f(n)=3;,当N=2时，f(n)=7,这些都可以看成是临界条件。只有当N>=3时，即上上步存在的情况下，就可以得出f(n)的一般通式：f(n)=2*f(n-1)+f(n-2)

          （本题还有其他的解法，同学们可以继续挖掘！）

【参考程序】

#include <stdio.h>
#include <windows.h>
int main()
{
   int n;
   int i;
   int fn_1,fn_2;
   printf("please input n=");
   scanf("%d",&n); //输入任意n值
   int fn=0;
   if(n==1)
     fn=3; //初始化当n=1和n=2时的临界条件
   else if(n==2)
     fn=7;
   else{
     fn_1=7;
     fn_2=3;
     for(i=3;i<=n;i++)
     {
        fn=2*fn_1+fn_2; //当n>=3时fn的通式
        fn_2=fn_1;//更新fn_1和fn_2的值
        fn_1=fn;
     }
   }
   printf("一共有%d种走法！\n",fn);  //输出结果
   return 0;
}

java递归算法分析

递归算法分析：就是把复杂的问题分解为若干个相对简单的子问题，一直分解下去，直到子问题有答案为止，也就是说到了递推的出口。
递归算法要注意的两点：
      (1) 递归就是在方法里调用自己;
      (2) 在使用递归算法时，必须要有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
先看一个简单的例子，求从1加到5的和，代码如下：

package com.juziku;

/**
* 递归测试
* @author sunlightcs
* 2011-3-9
* http://hi.juziku.com/sunlightcs/
*/
public class RecursionTest {

/**
     * 求从1加到n的和
*/
public static int sum(int n){
if(n == 1){
return 1;
        }else{
return n + sum(n-1);
        }
    }


public static void main(String[] args) {
        System.out.println(sum(5));
    }
}

先分析一下执行的流程：
n=5时，执行sum(5)方法，返回的结果为：5 + sum(4)
n=4时，执行sum(4)方法，返回的结果为：4 + sum(3)
n=3时，执行sum(3)方法，返回的结果为：3 + sum(2)
n=2时，执行sum(2)方法，返回的结果为：2 + sum(1)
n=1时，执行sum(1)方法，返回的结果为：1
再向上返回，依次执行：
2+1
3+(2+1)
4+(3+2+1)
5+(4+3+2+1) = 15
思路应该是这样的：
要知道从1加到5的和，先得知道从1加到4的和，即：5+sum(4)
要知道从1加到4的和，先得知道从1加到3的和，即：4+sum(3)
要知道从1加到3的和，先得知道从1加到2的和，即：3+sum(2)
要知道从1加到2的和，先得知道从1加到1的和，即：2+sum(1)
从而很容易看出，递归的出口为1也就是sum(1)的值为1
再看一个例子，求5的阶乘，代码如下：

package com.juziku;

/**
* 递归测试
* @author sunlightcs
* 2011-3-8
* http://hi.juziku.com/sunlightcs/
*/
public class RecursionTest {

/**
     * 求n的阶乘
*/
public static int multiply(int n) {
if(n == 1){
return 1;
        }else{
return n * multiply(n - 1);
        }
    }


public static void main(String[] args) {
        System.out.println(multiply(5));
    }
}