[LeetCode] Multiply Strings 字符串相乘

Given two non-negative integers num1 and num2represented as strings, return the product of num1 and num2, also represented as a string.

Example 1:

Input: num1 = "2", num2 = "3"

Output: "6"

Example 2:

Input: num1 = "123", num2 = "456"

Output: "56088"

Note:

The length of both num1 and num2 is < 110.
Both num1 and num2 contain only digits 0-9.
Both num1 and num2 do not contain any leading zero, except the number 0 itself.
You must not use any built-in BigInteger libraryor convert the inputs to integer directly.

这道题让我们求两个字符串数字的相乘，输入的两个数和返回的数都是以字符串格式储存的，这样做的原因可能是这样可以计算超大数相乘，可以不受 int 或 long 的数值范围的约束，那么该如何来计算乘法呢，小时候都学过多位数的乘法过程，都是每位相乘然后错位相加，那么这里就是用到这种方法，举个例子，比如 89 x 76，那么根据小学的算术知识，不难写出计算过程如下：

       <- num2

       <- num1

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如果自己再写些例子出来，不难发现，两数相乘得到的乘积的长度其实其实不会超过两个数字的长度之和，若 num1 长度为m，num2 长度为n，则 num1 x num2 的长度不会超过 m+n，还有就是要明白乘的时候为什么要错位，比如6乘8得到的 48 为啥要跟6乘9得到的 54 错位相加，因为8是十位上的数字，其本身相当于80，所以错开的一位实际上末尾需要补的0。还有一点需要观察出来的就是，num1 和 num2 中任意位置的两个数字相乘，得到的两位数在最终结果中的位置是确定的，比如 num1 中位置为i的数字乘以 num2 中位置为j的数字，那么得到的两位数字的位置为 i+j 和 i+j+1，明白了这些后，就可以进行错位相加了，累加出最终的结果。

由于要从个位上开始相乘，所以从 num1 和 num2 字符串的尾部开始往前遍历，分别提取出对应位置上的字符，将其转为整型后相乘。然后确定相乘后的两位数所在的位置 p1 和 p2，由于 p2 相较于 p1 是低位，所以将得到的两位数 mul 先加到 p2 位置上去，这样可能会导致 p2 位上的数字大于9，所以将十位上的数字要加到高位 p1 上去，只将余数留在 p2 位置，这样每个位上的数字都变成一位。然后要做的是从高位开始，将数字存入结果 res 中，记住 leading zeros 要跳过，最后处理下 corner case，即若结果 res 为空，则返回 "0"，否则返回结果 res，代码如下：

class Solution {

public:

    string multiply(string num1, string num2) {

        string res = "";

        int m = num1.size(), n = num2.size();

        vector<int> vals(m + n);

        for (int i = m - ; i >= ; --i) {

            for (int j = n - ; j >= ; --j) {

                int mul = (num1[i] - '') * (num2[j] - '');

                int p1 = i + j, p2 = i + j + , sum = mul + vals[p2];

                vals[p1] += sum / ;

                vals[p2] = sum % ;

            }

        }

        for (int val : vals) {

            if (!res.empty() || val != ) res.push_back(val + '');

        }

        return res.empty() ? "" : res;

    }

};