题目：N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？
首先介绍一下卡特兰数：卡特兰数前几项为 :
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1，卡特兰数满足递推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 ，h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5；
另类递推式：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)；
递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)；
递推关系的另类解为：h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=1,2,3,...)；
常规分析
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= C（2n,n）-C（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。最后，令f（0）=1，f（1）=1。
非常规分析
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为C(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为C(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。
类似问题 买票找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
最终结果：C(2n,n)-C(2n,n+1)
有关堆栈和Catalan数的思考
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形如这样的直角三角形网格，从左上角开始，只能向右走和向下走，问总共有多少种走法？
问题的由来：编号为 1 到 n 的 n 个元素，顺序的进入一个栈，则可能的出栈序列有多少种？
对问题的转化与思考：n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。
一 个模型：一个 n*n 的正方形网格，从左上角顶点到右下角顶点，只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的进栈，向下走对应上述问题的出栈，那么，可以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题，只要在总共从左上角到右下角的2n步中，选定向右走的步数，即共有C(n 2n)中走法。
但是存在一个问题，如果走法越过了对角线，那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多，这是不符合实际的。
对以上模型进行处理，对角线将以上正方形网格分成两部分，只留下包含对角线在内的下半部分，那么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。
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问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？
解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）
不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。
不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个的累计数，和m个1的累计数。
此后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个0和n＋1个1组成的一个排列。
反过来，任何一个由n＋1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n＋1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。
例如 10100101
是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位（显示为红色）出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于由3个1，5个0组成的10100010。
反过来 10100010
对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应，故有
P2n ＝ C（n 2n）— C（n＋1 2n）
这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan，在组合数学中有介绍，可以参阅有关资料。
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是否可以用一种更合乎思维习惯的方式解决这个问题呢
可以把这个问题描述为一个二元组，(n, 0) 表示有n个元素等待进栈, 0 个元素已进栈, 这相当于问题最初的状况. 接着问题转化为(n-1,1). 可以这么说(n,0) = (n-1,1). 而对于(n-1,1)则相当于(n-1,0)+(n-2,2).
(n-1,0)表示栈中的一个元素出栈, (n-2, 2)表示又有一个元素入栈.
把问题一般话,则(n,m)的排列问题可以转化为(n,m-1)+(n-1,m+1) 此时m>=1, 因为必须栈中有元素才可以出栈.当m=0则(n,0)的问题只能转化为(n-1,1). 当问题为(0, m)时得到递归边界,这个问题的解是只有一种排列.
程序如下:
#include <stdio.h>
#define ELEMNUM 6;
int getPermuStack(int n, int m)
{
if(n == 0)//递归边界
return 1;
if(m == 0)//(n,0)问题的处理
return getPermuStack(n-1, 1);
return getPermuStack(n, m-1) + getPermuStack(n-1, m+1);
}
int main()
{
printf("The total count of stackout permutation is %d.", getPermuStack(6, 0));
return 0;
}
运行结果:
The total count of stackout permutation is 132.
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上面方法是可行的，但在实际编程中最好不要用递归，这样如果递归次数一多就容易造成栈溢出。你可以试下用较大的参数来调用你的函数，会造成runtime error的。
而 且纯粹的递归会造成大量的重复计算：比如，你在计算getPermuStack(5, 5)的时候计算了getPermuStack(5, 4)，然后在计算getPermuStack(5,3)的时候又计算了一遍。当然可以通过动态规划的思想设置一个二维数组来记录计算结果，可是太消耗空间。
如果直观的方法就能很高效地解决问题的话，就不会有那么多人去从数学上求解了。