图形变换之基本矩阵变换

时间:2022-04-28 10:21:53

1)平移变换

从一个位置到另一个位置的变换可以用平移矩阵T表示,该矩阵通过向量t=(tx,ty,tz)对实体进行平移操作。

图形变换之基本矩阵变换其实还有另外一种形式(以左手坐标系为基准):图形变换之基本矩阵变换

第一种形式(以右手坐标系为基准的)进行变换时将T与需要变换的点或向量A(列向量)相乘,即TA。第二种形式(以左手坐标系为基准)将需要变换的点或向量(行向量)与T相乘,即AT。

平移矩阵的逆矩阵为T-1(t)= T(-t),也就是对向量t进行了置负操作。

2)旋转变换

旋转矩阵 Rx(Θ)、Ry(Θ)、Rz(Θ)分别表示将物体绕x,y,z轴进行旋转。

图形变换之基本矩阵变换图形变换之基本矩阵变换图形变换之基本矩阵变换

注意,旋转矩阵表示物体是绕着指定轴(轴的指向朝外面)按顺时针方向旋转的,但这个形式的旋转矩阵是以右手坐标系为基准的。

左手坐标系的为:
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旋转矩阵的推导可以看这里:http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8773996

任意轴旋转任意角度矩阵:

图形变换之基本矩阵变换

对于这个3x3矩阵来说,其对角元素之和是一个与坐标轴无关的常数,称其为迹(Trace):tr(R) = 1+2cosΘ

矩阵R的逆矩阵就是其转置矩阵,还有其他获取其逆矩阵的方法,即将Θ取负(绕着同一 坐标轴朝相反方向旋转)。旋转矩阵的行列式总是等于1.

3)缩放矩阵

图形变换之基本矩阵变换    sx,sy,sz分别表示沿着XYZ轴进行缩放的缩放比例。S矩阵的逆矩阵为S-1(s) = S(1/sx,1/sy,1/sz)。

如果对缩放矩阵s的一个或者三个分量置负,就会产生一个反射矩阵(镜像矩阵),如果其中两个缩放因子为-1,那么将旋转180度,当发现变换矩阵是反射矩阵时,需要进行特殊处理,例如,一个三角形的顶点序列以逆时针方向排列时,在经过反射矩阵变换后,对得到一个顺时针方向排列的三角形顶点序列,这将导致不正确的光照效果和背面裁减。判断给点矩阵是否为反射形式,需要计算该矩阵左上部3x3矩阵行列式的值,如果为负,那么该矩阵就为反射矩阵。

 


4)错切变换

错切矩阵有6种基本形式,分别表示为Hxy(s)、Hxz(s)、Hyx(s)、Hyz(s)、Hzx(s)、Hzy(s). 第一个下标表示由错切矩阵改变的坐标,第二个下标表示进行错切操作的坐标。

图形变换之基本矩阵变换  通过下标可以找到参数s所在的位置。如本例中x=0,z=2。

图形变换之基本矩阵变换    错切矩阵的逆矩阵可以通过取负来取得 (Hij)-1(s)= Hij(-s)

5) 刚体变换

刚体变换用于刚性物体的变换,只改变物体的方向和位置,不改变形状。可以将刚体矩阵X写成一个平移矩阵和一个旋转矩阵的级联:

图形变换之基本矩阵变换

X的逆矩阵可以这样求得:X-1=(T(t)R)-1=R-1T(t)-1=RTT(-t).

6) 法线变换

注意,法线必须通过用变换几何图形的矩阵的逆矩阵的转置矩阵进行变换 N=(M-1)T

图形变换之基本矩阵变换

实际应用中,如果变换矩阵是正交的(如旋转矩阵),就没必要计算它的逆矩阵,因为正交矩阵的逆矩阵就是转置矩阵,两个转置矩阵相互抵消,相乘的结果还是原来的旋转矩阵。此外,还有平移矩阵,由于平移不改变向量的方向,所以可以进行任意次数的平移而不对法线产生任何影响。另外,如果使用一个或多个一致性缩放矩阵进行变换,也不需要计算相应的逆矩阵,因为这种缩放只改变法线长度,不影响其方向。这种矩阵进行变换之后需要对法线进行归一化(规范化)。