24点算法之我见

时间：2021-05-03 10:21:48

之前发了一篇博文“24点的所有组合的解法”，有人颇不以为然。我想说的是，发这篇文章是说明我可以用计算机求出24点的所有组合的解法。而在实际的运用中，如果要使用24点的算法有时还不见得利用查表法来得简单和快速。毕竟，要短时间内写出正确的算法并验证，也不是一件很容易的事。

 

24点游戏的规则：给定4个正整数（1到10），利用加减乘除运算，得出运算结果为24的运算式

例如：

1，2，3，4——（1+2+3）*4=24

1，5，5，5——（5-1/5）*5=24

 

网上比较常见的24点算法是动态规划算法（这个在博客园中也能搜索到）。

 

定义6个二元运算符：加、减、乘、除、反减、反除

然后从4个数中任选2个数，通过一种运算（6个运算中的1个）得到一个新数

问题就演化成3个数的24点

 

重复上面的步骤，直到剩下一个数，如果这个数是24，则之前的运算过程就是24点的解答之一。如果这个数不是24，说明之前的运算不正确，再重新计算。如果所有的数的组合和运算的组合都尝试后，仍然没有找到解答，说明这4个数没有解

 

算一算运算一组解需要多少种可能性

第一步，从4个数中，任选两个数，6个运算符，则一共有C（4，2）*6=6*6=36

第二步，从3个数中，任选两个数，6个运算符，则一共有C（3，2）*6=3*6=18，则前两步一共有36*18=648种

第三步，6个运算符，则一共有6，最终求一组解的要搜索的可能性有648*6=3888种

 

上面是求一组解，要搜索的可能性，一共3888种

 

如果要得出所有组合的解，先要算出一共有多少种组合

4个数都不相同，C（10，4）=210

只有2个数相同，C（10，3）*3=360

2组2个数相同，C（10，2）=45

只有3个数相同，C（10，2）*2=90

4个数都相同，C（10，1）=10

则一共有210+360+45+90+10=715组

 

则求出所有组合的解，则一共要搜索715*3888=2779920种可能性

 

说白了，24点的算法就是一种穷举法

 

换一种思路，介绍我的24点的穷举法

上面的算法是对数和运算符进行穷举和搜索

 

我的算法是对运算式进行穷举

无论给什么样的是4个数，运算式总是不变的，举例来说：

N+N+N+N=24，这是一种运算式

N*N+N*N=24，这是另一种运算式

N/（N-N/N）=24，这又是另一种运算式

 

下面这个例子：

N+N-（N-N）=24

N+N-N+N=24

上面虽然是两种不同的运算式，但本质是同一种运算式（肯定同时成立或同时不成立），穷举的时候只要穷举其中一个就行了

 

再看下面这个例子

N/(N+N+N)=24

虽然是一个运算式，但是这个运算式是不可能成立的，也就是无解运算式，穷举的时候是不需要穷举该运算式的

下面这个表格是我整理的所有的运算式，其中有的运算式有等价运算式，有的运算式是无解运算式，按照上面的讲法，这两类运算式在穷举的时候都不需要穷举

 

24点运算式表
运算式 等价运算式 是否有解
+++    
N+N+N+N=24    
     
++-    
N+N+N-N=24    
     
++*    
N+N+N*N=24    
N+(N+N)*N=24    
(N+N+N)*N=24    
     
++/    
N+N+N/N=24    
N+(N+N)/N=24    
(N+N+N)/N=24    
     
+-+    
N+N-N+N=24 N+N+N-N=24  
N+N-(N+N)=24 N+N-N-N=24 无解
     
+--    
N+N-N-N=24   无解
N+N-(N-N)=24 N+N-N+N=24
N+N+N-N=24		  
     
+-*    
N+N-N*N=24   无解
N+(N-N)*N=24    
(N+N-N)*N=24    
     
+-/    
N+N-N/N=24   无解
N+(N-N)/N=24   无解
(N+N-N)/N=24   无解
     
+*+    
N+N*N+N=24    
(N+N)*N+N=24    
N+N*(N+N)=24 (N+N)*N+N=24  
(N+N)*(N+N)=24    
     
+*-    
N+N*N-N=24    
(N+N)*N-N=24    
N+N*(N-N)=24 N+(N-N)*N  
(N+N)*(N-N)=24    
     
+**    
N+N*N*N=24    
(N+N)*N*N=24    
(N+N*N)*N=24    
     
+*/    
N+N*N/N=24    
(N+N)*N/N=24    
(N+N*N)/N=24    
     
+/+    
N+N/N+N=24    
(N+N)/N+N=24    
N+N/(N+N)=24   无解
(N+N)/(N+N)=24   无解
     
+/-    
N+N/N-N=24   无解
(N+N)/N-N=24   无解
N+N/(N-N)=24   无解
(N+N)/(N-N)=24   无解
     
+/*    
N+N/N*N=24 N+N*N/N=24  
(N+N)/N*N=24 (N+N)*N/N=24  
(N+N/N)*N=24    
N+N/(N*N)=24 N+N/N/N=24 无解
(N+N)/(N*N)=24 (N+N)/N/N=24 无解
     
+//    
N+N/N/N=24   无解
(N+N)/N/N=24   无解
(N+N/N)/N=24   无解
N+N/(N/N)=24 N+N/N*N=24
N+N*N/N=24		  
(N+N)/(N/N)=24 (N+N)/N*N=24
(N+N)*N/N=24		  
     
-++    
N-N+N+N=24 N+N+N-N=24  
N-(N+N)+N=24 N-N-N+N=24
N+N-N-N=24		 无解
N-(N+N+N)=24 N-N-N-N=24 无解
     
-+-    
N-N+N-N=24 N+N-N-N=24 无解
N-(N+N)-N=24 N-N-N-N=24 无解
N-(N+N-N)=24 N-N-N+N=24
N+N-N-N=24		 无解
     
-+*    
N-N+N*N=24 N+N*N-N=24  
N-(N+N)*N=24   无解
N-(N+N*N)=24   无解
(N-N+N)*N=24 (N+N-N)*N=24  
(N-(N+N))*N=24 (N-N-N)*N=24  
     
-+/    
N-N+N/N=24   无解
N-(N+N)/N=24   无解
N-(N+N/N)=24 N-N-N/N=24 无解
(N-N+N)/N=24 (N+N-N)/N=24 无解
(N-(N+N))/N=24 (N-N-N)/N=24 无解
     
--+    
N-N-N+N=24 N+N-N-N=24 无解
N-(N-N)+N=24 N-N+N+N=24
N+N+N-N=24		  
N-(N-N+N)=24 N-N+N-N=24
N+N-N-N=24 		无解
N+N-N-N=24 N-N+N+N=24
N+N+N-N=24		  
N-N-(N+N)=24 N-N-N-N=24 无解
     
---    
N-N-N-N=24   无解
N-N-(N-N)=24 N-N-N+N =24
N+N-N-N=24		 无解
N-(N-N)-N=24 N-N+N-N=24
N+N-N-N=24		 无解
N-(N-N-N)=24 N-N+N+N=24
N+N+N-N=24		  
N-(N-(N-N))=24 N-N+N-N=24
N+N-N-N=24		 无解
     
--*    
N-N-N*N=24   无解
N-(N-N)*N=24 N+(N-N)*N=24  
(N-N-N)*N=24    
(N-(N-N))*N=24 (N-N+N)*N=24
(N+N-N)*N=24		  
     
--/    
N-N-N/N=24   无解
N-(N-N)/N=24 N+(N-N)/N=24 无解
(N-N-N)/N=24   无解
(N-(N-N))/N=24 (N-N+N)/N=24
(N+N-N)/N=24		 无解
     
-*+    
N-N*N+N=24 N+N-N*N=24 无解
(N-N)*N+N=24 N+(N-N)*N=24  
N-N*(N+N)=24 N-(N+N)*N=24 无解
(N-N)*(N+N)=24 (N+N)*(N-N)=24  
N-(N*N+N)=24 N-N*N-N=24
N-N-N*N=24		 无解
     
-*-    
N-N*N-N=24 N-N-N*N=24 无解
(N-N)*N-N=24    
N-N*(N-N)=24 N+N*(N-N)=24
N+(N-N)*N=24		  
(N-N)*(N-N)=24    
N-(N*N-N)=24 N-N*N+N=24
N+N-N*N=24		 无解
     
-**    
N-N*N*N=24   无解
(N-N)*N*N=24    
(N-N*N)*N=24    
     
-*/    
N-N*N/N=24   无解
(N-N)*N/N=24    
(N-N*N)/N=24   无解
     
-/+    
N-N/N+N=24 N+N-N/N=24 无解
(N-N)/N+N=24 N+(N-N)/N=24 无解
N-N/(N+N)=24   无解
(N-N)/(N+N)=24   无解
N-(N/N+N)=24 N-N/N-N=24
N-N-N/N=24		 无解
     
-/-    
N-N/N-N=24 N-N-N/N=24 无解
(N-N)/N-N=24   无解
N-N/(N-N)=24 N+N/(N-N)=24 无解
(N-N)/(N-N)=24   无解
N-(N/N-N)=24 N-N/N+N=24
N+N-N/N=24		 无解
     
-/*    
N-N/N*N=24   无解
(N-N)/N*N=24 (N-N)*N/N  
(N-N/N)*N=24    
N-N/(N*N)=24 N-N/N/N=24 无解
(N-N)/(N*N)=24 (N-N)/N/N=24 无解
     
-//    
N-N/N/N=24   无解
(N-N)/N/N=24   无解
(N-N/N)/N=24   无解
N-N/(N/N)=24 N-N/N*N=24
N-N*N/N=24		 无解
(N-N)/(N/N)=24 (N-N)/N*N=24
(N-N)*N/N=24		  
     
*++    
N*N+N+N=24 N+N+N*N=24  
N*(N+N)+N=24 N+(N+N)*N=24  
N*(N+N+N)=24 (N+N+N)*N=24  
     
*+-    
N*N+N-N=24 N-N+N*N=24  
N*(N+N)-N=24 (N+N)*N-N=24  
N*(N+N-N)=24 (N+N-N)*N=24  
     
*+*    
N*N+N*N=24    
N*(N+N)*N=24 (N+N)*N*N=24  
(N*N+N)*N=24 (N+N*N)*N=24  
N*(N+N*N)=24 (N+N*N)*N=24  
     
*+/    
N*N+N/N=24    
N*(N+N)/N=24 (N+N)*N/N=24  
(N*N+N)/N=24 (N+N*N)/N=24  
N*(N+N/N)=24 (N+N/N)*N=24  
     
*-+    
N*N-N+N=24 N-N+N*N=24  
N*(N-N)+N=24 N+(N-N)*N=24  
N*(N-N+N)=24 (N+N-N)*N=24  
N*N-(N+N)=24 N*N-N-N=24  
N*(N-(N+N))=24 N*(N-N-N)=24
(N-N-N)*N=24		  
     
*--    
N*N-N-N=24    
N*(N-N)-N=24 (N-N)*N-N=24  
N*(N-N-N)=24 (N-N-N)*N=24  
N*N-(N-N)=24 N*N-N+N=24
N-N+N*N=24		  
N*(N-(N-N))=24 N*(N-N+N)=24
(N+N-N)*N=24		  
     
*-*    
N*N-N*N=24    
N*(N-N)*N=24 (N-N)*N*N=24  
(N*N-N)*N=24    
N*(N-N*N)=24 (N-N*N)*N=24  
     
*-/    
N*N-N/N=24    
N*(N-N)/N=24 (N-M2)*N/N=24  
(N*N-N)/N=24    
N*(N-N/N)=24 (N-N/N)*N=24  
     
**+    
N*N*N+N=24 N+N*N*N=24  
N*N*(N+N)=24 (N+N)*N*N=24  
N*(N*N+N)=24 (N+N*N)*N=24  
     
**-    
N*N*N-N=24    
N*N*(N-N)=24 (N-N)*N*N=24  
N*(N*N-N)=24 (N*N-N)*N=24  
     
***    
N*N*N*N=24    
     
**/    
N*N*N/N=24    
     
*/+    
N*N/N+N=24 N+N*N/N=24  
N*N/(N+N)=24    
N*(N/N+N)=24 (N+N/N)*N=24  
     
*/-    
N*N/N-N=24    
N*N/(N-N)=24    
N*(N/N-N)=24    
     
*/*    
N*N/N*N=24 N*N*N/N=24  
N*N/(N*N)=24 N*N/N/N=24  
     
*//    
N*N/N/N=24    
N*N/(N/N)=24 N*N/N*N=24
N*N*N/N=24		  
     
/++    
N/N+N+N=24 N+N+N/N=24  
N/(N+N)+N=24 N+N/(N+N)=24 无解
N/(N+N+N)=24   无解
     
/+-    
N/N+N-N=24 N-N+N/N=24 无解
N/(N+N)-N=24   无解
N/(N+N-N)=24   无解
     
/+*    
N/N+N*N=24 N*N+N/N=24  
N/(N+N)*N=24 N*N/(N+N)=24  
(N/N+N)*N=24 (N+N/N)*N=24  
N/(N+N*N)=24   无解
     
/+/    
N/N+N/N=24   无解
N/(N+N)/N=24   无解
(N/N+N)/N=24 (N+N/N)/N=24 无解
N/(N+N/N)=24   无解
N/((N+N)/N)=24 N/(N+N)*N=24
N*N/(N+N)=24		  
     
/-+    
N/N-N+N=24 N-N+N/N=24 无解
N/N-(N+N)=24 N/N-N-N=24 无解
N/(N-N)+N=24 N+N/(N-N)=24 无解
N/(N-N+N)=24 N/(N+N-N)=24 无解
N/(N-(N+N))=24 N/(N-N-N)=24 无解
     
/--    
N/N-N-N=24   无解
N/N-(N-N)=24 N/N-N+N=24
N+N/N-N=24		 无解
N/(N-N)-N=24   无解
N/(N-N-N)=24   无解
N/(N-(N-N))=24 N/(N-N+N)=24
N/(N+N-N)=24		 无解
     
/-*    
N/N-N*N=24   无解
N/(N-N)*N=24 N*N/(N-N)=24  
N/(N-N*N)=24   无解
(N/N-N)*N=24    
     
/-/    
N/N-N/N=24   无解
N/(N-N)/N=24   无解
(N/N-N)/N=24   无解
N/(N-N/N)=24    
N/((N-N)/N)=24 N/(N-N)*N=24
N*N/(N-N)=24		  
     
/*+    
N/N*N+N=24 N+N*N/N=24  
N/N*(N+N)=24 (N+N)*N/N=24  
N/(N*N+N)=24 N/(N+N*N)=24 无解
N/(N*(N+N))=24 N/N/(N+N)=24
N/(N+N)/N=24		 无解
     
/*-    
N/N*N-N=24 N*N/N-N=24  
N/N*(N-N)=24 N*(N-N)/N=24  
N/(N*N-N)=24   无解
N/(N*(N-N))=24 N/N/(N-N)=24
N/(N-N)/N=24		 无解
N/(N*N)-N=24 N/N/N-N=24 无解
     
/**    
N/N*N*N=24 N*N*N/N=24  
N/(N*N)*N=24 N/N/N*N=24
N*N/N/N=24		  
N/(N*N*N)=24 N/N/N/N=24 无解
     
/*/    
N/N*N/N=24 N*N/N/N=24  
N/(N*N)/N=24 N/N/N/N=24 无解
N/(N*N/N)=24 N/N/N*N=24
N*N/N/N=24		  
     
//+    
N/N/N+N=24 N+N/N/N 无解
N/N/(N+N)=24   无解
N/(N/N+N)=24 N/(N+N/N)=24 无解
N/(N/(N+N))=24 N/N*(N+N)=24
(N+N)*N/N=24		  
     
//-    
N/N/N-N=24   无解
N/N/(N-N)=24   无解
N/(N/N-N)=24    
N/(N/(N-N))=24 N/N*(N-N)=24
(N-N)*N/N=24		  
     
//*    
N/N/N*N=24 N*N/N/N=24  
N/N/(N*N)=24 N/N/N/N=24 无解
N/(N/N)*N=24 N/N*N*N=24
N*N*N/N=24		  
N/(N/N*N)=24 N/N*N/N=24
N*N/N/N=24		  
     
///    
N/N/N/N=24   无解
N/N/(N/N)=24 N/N/N*N=24
N*N/N/N=24		  
N/(N/N)/N=24 N/N*N/N=24
N*N/N/N=24		  
N/(N/N/N)=24 N/N*N/N=24
N*N/N/N=24		  

 

算一算，要求出所有组合的解，需要穷举多少种可能

需要穷举的运算式一共有50个

之前说一共有715组，这715组每个组一共有4！=24中排列方式，24钟排列方式代入到50个运算式，则一共需要穷举

715*24*50=858000

 

是不是远小于之前的2779920种

 

既然都是穷举，还不如把所有的结果都保存起来，这样穷举的可能性就只有200种不到了，秒杀所有的算法

 

我想说的是，有时查表计算并不是一种坏的算法。要知道很多语言中求三角函数都是利用查表来快速计算的

 

 

最后，说一句题外话，请教各位网友一个计算机的问题

我有一台电脑，WIN7系统。近阶段出现一个怪现象

在开机进入系统后，插入U盘，能正确识别使用U盘

在过了一段时间后（大约半小时后），再插入U盘，要么没有反应，要么能识别出盘符，但是不能识别U盘内的东西。

重启系统后，还是在进入系统后能识别U盘，但过了一段时间，问题照旧。

哪位网友能给出解决方案？

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