3D几何变换

3D点：非齐次坐标x(x,y,z) (x表示向量矢量)

　　　齐次坐标：x^~=(x^~,y^~,z^~,w^~)=w^~(x,y,z,1)=w^~x^~增广矢量：x^—=(x,y,z,1)

w^~=0时，齐次点称作理想点或无穷远点。

3D平移：

　　非齐次坐标：x'=x+t 即 x'=[I t]x I是3*3的单位矩阵

齐次坐标： x^—’=[I t; 0 1]x^—两个*度t₁,t₂,t₃

3D平移保持方向一致。

3D旋转+平移：（3D刚体运动，3D欧式变换）

非齐次坐标：x'=Rx+t 即 x'=[R t]x R是3*3的正交旋转矩阵，RR^T=I, |R|=1

齐次坐标： x^—’=[R t; 0 1]x^— 六个*度t₁,t₂,t₃，R的三个参数

　　一般用x'=R(x-c)=Rx-Rc, c是旋转中心，通常是摄像机中心。

3D欧式变换保持欧式距离，长度不变。

3D放缩旋转平移：

非齐次坐标：x'=sRx+t 即 x'=[sR t]x R是3*3的正交旋转矩阵，RR^T=I, |R|=1；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　s是尺度因子(一个值)，sR=[a -b; b a]

齐次坐标： x^—’=[sR t; 0 1]x^— 七个*度t₁,t₂,t₃，R的三个参数,s

3D相似变换保持直线与平面间的夹角不变。

3D仿射变换：

齐次坐标： x^—’=Ax^— A 是3*4矩阵，A=[a₀₀ a₀₁ a₀₂a_₀₃; a₁₀ a₁₁a₁₂ a_₁₃; a₂₀ a₂₁ a₂₂a₂₃]

共有12个*度，A中的12个参数。

在仿射变换下，平行的线与平面仍然保持平行。

不变的性质：平面的平行性、体积比、形心、无穷远平面。

3D投影变换：（透视变换或同态映射）

齐次坐标： x^—’=H^—x^—H^—是任意的4*4齐次矩阵，也是非奇异矩阵，只相差在一个尺度量的情况下定义的。仅仅尺度量不同的两个H^—是等同的。

　　　　　　　　　　　　　　 H^—=[h₁ h₂ h₃h₄; h₅h₆h₇ h₈; h₉ h₁₀h₁₁h₁₂ ; h₁₃h₁₄h₁₅h₁₆]

H的16个元素中有15个独立比率，因此一个投影变换有15个*度（七个用于相似变换部分：旋转三个、位移三个、均匀缩放一个；五个用于仿射变换部分；三个用于射影变换部分）。

投影变换保持直线性(直线在变换后仍然是直线)。

*度：当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能*变化的自变量的个数，称为该统计量的*度。

注：表中的下层的变换都能产生上层变换的所有行为。

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