最大公约数---欧几里得算法

求解两个正整数的最大公约数(Greatest Common Devisor)，可以采用循环进行遍历，不过效率很低。所以引入欧几里得算法(Euclid’s algorithm)。

欧几里得算法基于GCD递归引理：

对任意非负整数a和任意正整数b，
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

可以直接写出递归程序：

int GCD(int a, int b)
{   
    if(0 == b)
        return a;
    else
        return GCD(b, a % b);
}

• 复杂度分析
  运行时间与递归调用的次数成正比。

时间复杂度 O(lgb) $O(lgb)$，最坏情况下计算次数 N≤5log10b $N\le 5lo{g}_{10}b$。

证明：欧几里得算法

• 扩展欧几里得算法
  可以计算出满足下式的三元组 (d,x,y) $(d,x,y)$：
  
  d=GCD(a,b)=ax+by $$d=GCD(a,b)=ax+by$$

int Euclid_extend(int a, int b, int* x, int* y)
{
    if(0 == b)
    {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int r = Euclid_extend(b,a%b,x,y);
        int temp = *x;
        *x = *y;
        *y = temp - (*y)*(a/b);
        return r;
    }
}

简单证明：
b=0 $b=0$是递归基，易得一组解 x=1,y=0 $x=1,y=0$;
b≠0 $b\ne 0$时：
首先递归求解：

d′=gcd(b,a%b)=bx′+(a%b)y′              (1) $$d^{\prime }=gcd(b,a\mathrm{\%}b)=b{x}^{\prime }+(a\mathrm{\%}b)y^{\prime }(1)$$

我们知道：

d=gcd(a,b)=d′=gcd(b,a%b)             (2) $$d=gcd(a,b)=d^{\prime }=gcd(b,a\mathrm{\%}b)(2)$$

a%b=a−b∗⌊a/b⌋           (3) $$a\mathrm{\%}b=a-b\ast \lfloor a/b\rfloor (3)$$

将(2)(3)式带入(1)：

d=bx′+(a−b⌊a/b⌋)y′=ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′) $$d=b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor a/b\rfloor )y^{\prime }=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor y^{\prime })$$

所以，令 x=y′ $x=y^{\prime }$ 、 y=x′−⌊a/b⌋y′ $y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor y^{\prime }$ ，就可以满足 d=ax+by $d=ax+by$ 。