欧几里得算法求解最大公约数

这里主要要介绍的欧几里得算法，主要是用于求解两个整数的最大公约数的问题。
传统的求解方法是采用暴力枚举的方法，即枚举所有可能值取其最大。其算法描述如下：

给定两个整数a,b
c = min{a, b}
max = 0; // 保存最大公约数
for i:0->c
    if (a % i == 0) And (b % i == 0) // '%'表示取模运算
        if (max < i)
            max = i;
return max;

显然，暴力破解所花费的时间会随着两个整数的增大而上升，尤其是当超过10000000后，求解速度就不是很理想了。

接下来介绍的欧几里得算法可用于简化该问题求解的规模。
假设 g $g$ 是两个整数 a $a$ 和 b $b$ 的公约数，即存在整数 l $l$ 和 m $m$，使得下列式成立

a=g⋅mb=g⋅l(1) $$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{l}a=g\cdot m\\ b=g\cdot l\end{array}\end{array}$$

不妨假设 a>b $a>b$ ，则有如下成立：

a=b⋅k+r(2) $$\begin{array}{}\text{(2)}& a=b\cdot k+r\end{array}$$

其中 r≡a(modb),k∈N $r\equiv a(\mathrm{mod}b),k\in N$ ，即 r $r$ 是 a $a$ 除 b $b$ 的余数
将 (1) 代入 (2) 可得：

g⋅m=g⋅l⋅k+r⇒r=g⋅(m−l⋅k)(3) $$\begin{array}{}\text{(3)}& g\cdot m=g\cdot l\cdot k+r\Rightarrow r=g\cdot (m-l\cdot k)\end{array}$$

即 r $r$ 可以整除 g $g$
通过(1)、(2)、(3)可知， g $g$ 同时是 a,b,r $a,b,r$ 的公约数

那么，求解 a,b $a,b$ 的最大公约数，是不是等价于求解 b,r $b,r$ 的最大公约数呢？
接下来证明这个命题：
假设 g $g$是 a,b $a,b$ 的最大公约数，而 r,b $r,b$的最大公约数为 g∗ $g^{\ast }$，其中 g∗>g $g^{\ast }>g$，即

r=g∗⋅nb=g∗⋅l∗(4) $$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{l}r=g^{\ast }\cdot n\\ b=g^{\ast }\cdot l^{\ast }\end{array}\end{array}$$

将(4)代入(2)

a=g∗⋅l∗⋅k+g∗⋅n∗⇒a=g∗(l∗⋅k+n) $$a=g^{\ast }\cdot l^{\ast }\cdot k+g^{\ast }\cdot n^{\ast }\Rightarrow a=g^{\ast }(l^{\ast }\cdot k+n)$$

即

a=g∗(l∗⋅k+n)b=g∗⋅l∗(5) $$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{l}a=g^{\ast }(l^{\ast }\cdot k+n)\\ b=g^{\ast }\cdot l^{\ast }\end{array}\end{array}$$

由(5)可知， g∗ $g^{\ast }$ 也是 a,b $a,b$ 的公约数。但之前假设 g $g$ 是 a,b $a,b$ 的最大公约数，而 g∗>g $g^{\ast }>g$ ，所以这与条件相矛盾。故说明 求解 a,b $a,b$ 的最大公约数等价于求解 b,r $b,r$ 的最大公约数。

通过欧几里得算法，可以将求解 a,b $a,b$ 的最大公约数转化为求解 b,r $b,r$ 的最大公约数。注意到，该过程是可以重复的。其伪代码如下：

给定两个整数a,b // 假设 a > b > 0
while (r == 0) {
    r = a % b;
    a = b;
    b = r;
}
return a;