BZOJ2017[USACO 2009 Nov Silver 1.A Coin Game]——DP+博弈论

题目描述

农夫约翰的奶牛喜欢玩硬币游戏，因此他发明了一种称为“Xoinc”的两人硬币游戏。 初始时，一个有N(5 <= N <= 2,000)枚硬币的堆栈放在地上，从堆顶数起的第I枚硬币的币值为C_i (1 <= C_i <= 100,000)。 开始玩游戏时，第一个玩家可以从堆顶拿走一枚或两枚硬币。如果第一个玩家只拿走堆顶的一枚硬币，那么第二个玩家可以拿走随后的一枚或两枚硬币。如果第一个玩家拿走两枚硬币，则第二个玩家可以拿走1，2，3，或4枚硬币。在每一轮中，当前的玩家至少拿走一枚硬币，至多拿走对手上一次所拿硬币数量的两倍。当没有硬币可拿时，游戏结束。 两个玩家都希望拿到最多钱数的硬币。请问，当游戏结束时，第一个玩家最多能拿多少钱呢？

输入

第1行：1个整数N

第2..N+1行：第i+1行包含1个整数C_i

输出

第1行：1个整数表示第1个玩家能拿走的最大钱数。

样例输入

5
1
3
1
7
2

样例输出

9

提示

样例说明：第1个玩家先取走第1枚，第2个玩家取第2枚；第1个取走第3，4两枚，第2个玩家取走最后1枚。

不要看到博弈论就心里打怵，其实只是用到一些简单的博弈思想qwq。这道题主要还是dp，那么dp状态怎么描述呢？首先不能确定最后取硬币的是先手的人还是后手的人，所以可以考虑把状态倒着推，最终答案用先手的人第一次取的状态表示。那么就可以把状态描述成f[i][j]表示上一个人取了j个，还剩下i个，当前人在后续步骤中(包括当前这次取的)能获得的最大值，s[i]表示最后i个的价值和(就是后缀和)。假设当前人是第一个人，他取了k个(k<=2*j)，第二个人之后能获得的最大值就是f[i-k][k]，那么想让第一个人这次及之后能获得最大值，就要让f[i-k][k]尽量小，那么只要枚举k，用s[i]-min{f[i-k][k]}就是第一个人的最大值。但这样枚举k一定会TLE，不过可以发现f[i][j]和f[i][j-1]之间只差了f[i-2*j][2*j]和f[i-2*j+1][2*j-1]两个状态，所以可以把f[i][j]先赋成f[i][j-1]再与这两个状态比较一下就行了，但比较前要先判断i和这两个数(2*j和2*j-1)之间大小关系。但最后答案是什么呢?我们并不知道先手的人第一次取了1个还是2个,那么可以假设前面有一个第0号硬币被第二个人取走了,这样最终结果就是f[n][1].虽然状态是倒着推,但为了方便可以倒着读入正着转移.

最后附上代码.

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int a[2010];
int s[2010];
int f[2010][2010];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i][j]=f[i][j-1];
            if(2*j-1<=i)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],s[i]-f[i-2*j+1][2*j-1]);
            }
            if(2*j<=i)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],s[i]-f[i-2*j][2*j]);
            }
        }
    }
    printf("%d",f[n][1]);
}