[BZOJ3751] [NOIP2014] 解方程 (数学)

时间:2024-06-03 19:06:44

Description

  已知多项式方程:$a_0+a_1*x+a_2*x^2+...+a_n*x^n=0$
  求这个方程在[1,m]内的整数解(n和m均为正整数)。

Input

  第一行包含2个整数n、m,每两个整数之间用一个空格隔开。
  接下来的n+1行每行包含一个整数,依次为a0,a1,a2,...,an。

Output

  第一行输出方程在[1,m]内的整数解的个数。
  接下来每行一个整数,按照从小到大的顺序依次输出方程在[1,m]内的一个整数解。

Sample Input

2 10
2
-3
1

Sample Output

2
1
2

HINT

  对于100%的数据,0<n≤100,|ai|≤10^10000,an≠0,m≤1000000。

Source

Solution

  考虑对等式左边整体对质数取模,这部分用秦九韶算法实现可以大大提速,并且可以避免大量的高精度运算

  假设模数为$p$,不难发现在模$p$意义下$x$与$x+kp$得到的结果一样,所以我们可以预处理出$[0,p)$的答案,推出$[1,m]$是否可能是解

  因为$p$很小会有类似哈希冲撞的事发生,所以我们可以选取多个$p$。据说是选$5$个$20000$左右的质数就可以,然而我换过好几个质数,不是$WA$就是$TLE$,QAQ

  代码里的质数是网上找的,并不清楚为什么这人的人品能那么好QAQ,$4$个质数就可以$AC$QAQ

  (方法会就行了,这道题考的不是质数的选取,质数照抄就行了)

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[][];
int p[] = {, , , };
int n, a[], ans[];
bool vis[][]; bool check(int x)
{
if(!vis[][x % ]) return false;
if(!vis[][x % ]) return false;
if(!vis[][x % ]) return false;
if(!vis[][x % ]) return false;
return true;
} bool is_zero(int k, int x)
{
long long ans = a[n];
for(int i = n - ; ~i; --i)
ans = (ans * x + a[i]) % p[k];
return !ans;
} int main()
{
int m, tot = ;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = ; i <= n; ++i)
scanf("%s", &s[i]);
for(int i = ; i < ; ++i)
{
memset(a, , sizeof(a));
for(int j = ; j <= n; ++j)
if(s[j][] == '-')
for(int k = ; s[j][k]; ++k)
a[j] = (a[j] * - s[j][k] + + p[i]) % p[i];
else
for(int k = ; s[j][k]; ++k)
a[j] = (a[j] * + s[j][k] - ) % p[i];
for(int j = ; j < p[i]; ++j)
vis[i][j] = is_zero(i, j);
}
for(int i = ; i <= m; ++i)
if(check(i)) ans[++tot] = i;
printf("%d\n", tot);
for(int i = ; i <= tot; ++i)
printf("%d\n", ans[i]);
return ;
}