板子们（未完待续）

1.数学

1.1、（扩展）欧几里得

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b) { d=a; x=1; y=0; }
else { gcd(b,a%b,d,y,x);  y-=x*(a/b); }
}

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1.2、同余方程

//解同余方程 ax≡c（mod b）
//转化为ax-by=c 
void solve()
{
    gcd(a,b,g,x0,y0);  
if(c%g) printf("no solution");
    x=c/g*x0; y=c/g*y0;
    printf("任意一组解：%d",x);
    a/=g; b/=g;
    x=(x%b+b)%b
    printf("最小x正整数解：%d",x); 
}

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扩展欧几里得、同余方程解析：http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6645383.html

1.3、快速幂

int quickmul(int a,int b,int p)
{
int ans=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1) ans=ans*a%p;
return ans;
}

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1.4、素数判定

1.4.1. 费马小定理若 a、p互质，则 a^(p-1) %p=1

缺陷：Carmichael数可以通过素数判定

O（次数*log）

#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL p;
bool flag;
LL mul(LL a,LL b)
{
    a%=p; b%=p;
    LL r=0;
while(b)
    {
if(b&1) { b--; r=(r+a)%p; }
        a<<=1; a%=p; b>>=1;
    }
return r;
}
LL qm(LL a,LL b)
{
    LL r=1;
while(b)
    {
if(b&1) r=mul(r,a);
        b>>=1; a=mul(a,a);
    }
return r;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&p);
    srand(time(0));
for(int i=1;i<=15;i++)
    {
        LL a=rand()%(p-1)+1;
        LL x=qm(a,p-1);
if(x!=1) { flag=1; break; }
    }
if(flag) printf("No");
else printf("Yes");
}

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1.4.2 Miller_Rabin

不会误判Carmichael数，误判概率为1/4^T

判断四五次大概够了

#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL p;
LL mul(LL a,LL b)
{
    LL r=0;
while(b)
    {
if(b&1) r+=a,r%=p;
        a<<=1; a%=p; b>>=1;
    }
return r;
}
LL qm(LL a,LL b)
{
    LL r=1;
while(b)
    {
if(b&1) r=mul(r,a);
        a=mul(a,a);  b>>=1;
    }
return r;
}
bool Miller_Rabin()
{
if(p==2) return true;
if(p==1 ||  p%2==0) return false;
    LL x,y,m,k=0,a;
    m=p-1;
while(m%2==0) k++,m>>=1;
int T=4;
while(T--)
    {
        a=rand()%(p-1)+1;
        x=qm(a,m);
for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            y=mul(x,x);
if(x&1 && y==1 && x!=1 && x!=p-1) return false;
            x=y;
        }
if(x!=1) return false;
    }
return true;
}
int main()
{
    srand(time(0));
    scanf("%lld",&p);
if(Miller_Rabin()) printf("Yes");
else printf("No");
}

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1.5 素数相关

1.5.1 素数线性筛

void solve()
{
for(int i=2;i<=N;i++)
    {
if(!v[i])  prime[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
if(prime[j]*i>=N) break;
            v[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

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1.5.2 唯一分解定理

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int p[100001],c[100001];
int main()
{
int n,sum;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        sum=0;
int m=sqrt(n);
for(int i=2;i<=m;i++)
if(n%i==0)
         {
             p[++sum]=i;
while(n%i==0) n/=i,c[sum]++;
         }
if(n>1) p[++sum]=n,c[sum]++;
for(int i=1;i<=sum;i++) printf("%d %d\n",p[i],c[i]);
    }
}

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1.5.3 阶乘的质因数分解

for(int i=1;prime[i]<=n;i++)
{
int t=n;
while(t)
    {
        cnt[i]+=t/prime[i];
        t/=prime[i];
    }
}

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1.6 欧拉函数

原理请转至http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6598367.html

1.6.1 欧拉函数计算

void euler(int n)
{
int ans=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
     {
         ans=ans/i*(i-1);
while(n%i==0) n/=i;
     }
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
}

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1.6.2 欧拉筛

O（n）

void euler_table()
{
    phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
    {
if(!v[i]) 
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
if(prime[j]*i>=N) break;
            v[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]) phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
else
            {
                phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i];
break;
            }
        }
    }
}

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1.6.3 埃拉托斯特尼筛

O（nlog²n）

int eratosthenes(int n)
{
int ans=n,k=n;
int m=sqrt(n);
for(int i=2;i<=m;i++)
if(n%i==0)
     {
         ans=ans/i*(i-1);
for(int j=1;j*i<=k;j++) v[i*j]=false;
while(n%i==0) n/=i;
     }
if(n>1)
    {
        ans=ans/n*i;
for(int j=1;j*i<=k;j++) v[i*j]=false;
    }
return ans;
}

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1.6.4 杜教筛

待填坑

1.7 莫比乌斯函数

原理转至 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6598088.html

1.7.1 线性筛

void mobius()
{
    mul[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) 
    {
if(v[i]) 
        {
            prime[++cnt]=i;
            mul[i]=-1;
        }

for(int j=1;j<=cnt;j++) 
        {
if(i*prime[j]>=N) break;
            v[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0) { mul[i*prime[j]]=0; break; }
            mul[i*prime[j]]=-mul[i];
        }
    }
}

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1.7.2 杜教筛

待填坑

1.8 逆元

只有 a p 互质，a才有关于p的逆元

原理请见：http://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html

1.8.1 费马小定理限制条件：p是质数

int quickpow(int a,int b,int p)
{
int r=1;
while(b)
    {
if(b&1) r8=a,r%=p;
        b>>=1; a*=a; a%=p;
    }
return r;
}
void solve(int a,int p)
{
if(prime(p)) printf("%d",quickpow(a,p-2,p));
}

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1.8.2 扩展欧几里得

void exgcd(int a,int b,int& g,int& x,int& y)
{
if(!b) { g=a; x=1; y=0; }
else { exgcd(b,a%b,g,y,x); y-=x*(a/b); }
}
void solve()
{
    exgcd(a,b,g,x,y);
if(g!=1) return;
    printf("%d",(x%p+p)%p);
}

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1.8.3 递推限制条件：p是质数

void solve(int p)
{
    inv[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

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1.9 中国剩余定理

1.9.1 大数翻倍法

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[11],b[11];
long long get_gcd(long long a,long long b)
{
return !b ? a:get_gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
long long ans=b[1];
long long lcm=a[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
    {
while(ans%a[i]!=b[i]) ans+=lcm;
long long gcd=get_gcd(lcm,(long long)a[i]);
        lcm=lcm/gcd*(long long)a[i];
    }
    printf("%lld",ans);
}

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1.9.2 中国剩余定理互质版

#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int m[11],a[11];
long long M=1,ans,Mi[11],e[11];
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(!b) x=1,y=0;
else { exgcd(b,a%b,y,x); y-=x*(a/b); }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&m[i],&a[i]),M*=m[i];
for(int i=1;i<=n;i++) Mi[i]=M/m[i];
long long x,y;
for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        exgcd(Mi[i],m[i],x,y);
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        e[i]=Mi[i]*x%M;
    }
for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+e[i]*a[i])%M;
    printf("%lld",ans);
}

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这两个原理见：http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6638430.html

1.9.3 中国剩余定理非互质版

待填坑

1.10 卢卡斯定理

1.10.1 互质版

1.10.1.1 预处理阶乘

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[100001];
void pre(int p)
{
    f[0]=1;
for(int i=1;i<=p;i++) f[i]=f[i-1]*i%p;
}
int pow(LL a,int b,int p)
{
    LL r=1;
while(b)
    {
if(b&1) r*=a,r%=p;
        b>>=1; a*=a; a%=p; 
    }
return r;
}
int C(int n,int m,int p)
{
if(m>n) return 0; //如果m>n，那么原来的m<n-p,即m与n之间至少有一个p的倍数，那么结果为0 
return f[n]*pow(f[m]*f[n-m],p-2,p)%p;
}
/*int Lucas(int n,int m,int p)
{
    if(!m) return 1;
    return (C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}*/
int Lucas(int n,int m,int p) //非递归版，上面是递归版 
{
    LL ans=1;
for(;m;n/=p,m/=p) ans=ans*C(n%p,m%p,p)%p; 
return ans;
}
int main()
{
int T,n,m,p;
    scanf("%d",&T);
while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        pre(p);
        printf("%d\n",Lucas(n,m,p));
    }    
}

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1.10.1.2 阶乘不能预处理

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
/*int pow(LL a,int b,int p)
{
    LL r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) r*=a,r%=p;
        b>>=1; a*=a; a%=p;
    }
    return r;
}*/
void exgcd(int a,int b,LL &x,LL &y)
{
if(!b) { x=1; y=0; }
else { exgcd(b,a%b,y,x); y-=x*(a/b); }
}
int inv(int x,int p)
{
//return pow(x,p-2,p);
    LL x0,y0;
    exgcd(x,p,x0,y0);
return (x0%p+p)%p;
}
int C(int n,int m,int p)
{
if(n<m) return 0;
    LL r=1;
//for(int i=m+1;i<=n;i++) r=r*i%p*inv(i-m,p)%p;  TLE
for(int i=1;i<=m;i++) r=r*(n-i+1)%p*inv(i,p)%p;
return r;
}
int Lucas(int n,int m,int p)
{
    LL ans=1;
for(;m;n/=p,m/=p) 
    ans=ans*C(n%p,m%p,p)%p;
return ans;
}
int main()
{
int n,m,p;
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&p)!=EOF)
    printf("%d\n",Lucas(n,m,p));
}

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1.10.2 扩展卢卡斯

待填坑

1.11 Catalan数

#include<cstdio>
#define mod 100000007
using namespace std;
long long f[20000];
int main()
{
int n;
    scanf("%d",&n);
    f[0]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
      f[i]=(f[i]+f[j-1]*f[i-j]%mod)%mod;
//for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
    printf("%lld",f[n]);
}

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1.12 矩阵树定理

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
long long t,C[101][101],ans;
long long Matrix_tree()
{
    ans=1;
for(int i=1;i<n;i++)
    {
for(int j=i+1;j<n;j++)
while(C[j][i])
        {
            t=C[i][i]/C[j][i];
for(int k=i;k<n;k++) C[i][k]-=C[j][k]*t;
for(int k=i;k<n;k++) swap(C[i][k],C[j][k]);
            ans=-ans;
        }
if(!C[i][i]) return 0;
        ans*=C[i][i];
    }
return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v;
while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        u--; v--;
        C[u][v]--; C[v][u]--;
        C[u][u]++; C[v][v]++;
    }
    printf("%lld",Matrix_tree());
}

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2.图论

2.1 最短路

2.1.1 Floyd

  scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(f,63,sizeof(f));
while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        f[a][b]=f[b][a]=min(f[a][b],c);
    }
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

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2.1.2 Dijkstra

2.1.2.1 普通Dijkstra

void dijkstra()
{
        memset(v,false,sizeof(v));
        memset(dis,63,sizeof(dis));
        v[1]=true;
        dis[1]=0;
int minn,k;
for(int i=1;i<n;i++)
        {
            k=0;
            minn=0x7fffffff;
for(int j=1;j<=n;j++) 
if(!v[j] && dis[j]<minn ) minn=dis[j],k=j;
if(!k) break;
            v[k]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(dis[j]>dis[k]+e[k][j] ) dis[j]=dis[k]+e[k][j];
        }        
}

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2.1.2.2 堆优化

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define N 55000
#define M 1000000
using namespace std;
int n,m,s,t,tot;
int nxt[M],to[M],front[N],cap[M];
int DIS[N];
bool vis[N];
struct edge
{
int number,dis;
bool operator <(edge b) const
    {
return dis>b.dis;
    }
}now,nt;
priority_queue<edge>q;
void add(int u,int v,int w)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; cap[tot]=w;
    to[++tot]=u; nxt[tot]=front[v]; front[v]=tot; cap[tot]=w;
}
bool dijkstra()
{
for(int i=1;i<=n;i++) DIS[i]=2e9;
    q.push((edge){s,0});
    DIS[s]=0;
while(!q.empty())
    {
        now=q.top();q.pop();
if(vis[now.number]) continue;
        vis[now.number]=true;
for(int i=front[now.number];i;i=nxt[i])
        {
if(DIS[to[i]]>DIS[now.number]+cap[i])
            {
                DIS[to[i]]=DIS[now.number]+cap[i];
                q.push((edge){to[i],DIS[to[i]]});
            }
        }
    }
    printf("%d",DIS[t]);
}

int main()
{
int u,v,w;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
    }
    dijkstra();
}

View Code

2.1.3 spfa

void spfa()
{
    memset(dis,63,sizeof(dis));
    dis[1]=0; q.push(1); vis[1]=true;
int now;
while(!q.empty())
    {
        now=q.front(); q.pop(); vis[now]=false;
for(int i=front[now];i;i=nxt[i])
if(dis[to[i]]>dis[now]+val[i])
            {
                dis[to[i]]=dis[now]+val[i];
if(!vis[to[i]]) vis[to[i]]=true,q.push(to[i]);
            }
    }
}

View Code

2.2 次短路

注：代码是严格的次短路

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 5001
#define M 100001
using namespace std;
int front[N],to[M<<1],nxt[M<<1],val[M<<1],from[M<<1],tot;
int dis1[N],dis2[N];
bool vis[N];
queue<int>q;
void add(int u,int v,int w)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w; from[tot]=u;
    to[++tot]=u; nxt[tot]=front[v]; front[v]=tot; val[tot]=w; from[tot]=v;
}
void spfa(int s,int *dis)
{
//memset(dis,63,sizeof(dis));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    q.push(s);
    vis[s]=true;
    dis[s]=0;
int now;
while(!q.empty())
    {
        now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=false;
for(int i=front[now];i;i=nxt[i])
if(dis[to[i]]>dis[now]+val[i])
            {
                dis[to[i]]=dis[now]+val[i];
if(!vis[to[i]])
                {
                    vis[to[i]]=true;
                    q.push(to[i]);
                }
            }
    }
}
int main()
{
int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v,w;
for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
    }
    memset(dis1,63,sizeof(dis1));
    memset(dis2,63,sizeof(dis2));
    spfa(1,dis1);
    spfa(n,dis2);
int minn=dis1[n],tmp,ans=0x7fffffff;
for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        u=from[i]; v=to[i];
        tmp=dis1[u]+val[i]+dis2[v];
if(tmp>minn && tmp<ans) ans=tmp;
    }
    printf("%d",ans);
}

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2.3 k短路

注：代码是不严格的k短路

http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/7416264.html

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1001
#define M 100001
using namespace std;
int n,s,t,k;
int dis1[N];
bool vis[N];
int front[N],to[M],nxt[M],val[M],tot;
int front2[N],to2[M],nxt2[M],val2[M],tot2;
struct node
{
int num,dis;
bool operator < (node p) const
    {
return dis+dis1[num]>p.dis+dis1[p.num];
    } 
}now,nt;
void add(int u,int v,int w)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot; val[tot]=w;
    to2[++tot2]=u; nxt2[tot2]=front2[v]; front2[v]=tot2; val2[tot2]=w; 
}
void init()
{
int m,u,v,w;
    scanf("%d%d",&n,&m);
while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
    }
    scanf("%d%d%d",&s,&t,&k);
}
void spfa()
{
    memset(dis1,63,sizeof(dis1));
    queue<int>q;
    dis1[t]=0;
    vis[t]=true;
    q.push(t);
int now;
while(!q.empty())
    {
        now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=false;
for(int i=front2[now];i;i=nxt2[i])
if(dis1[to2[i]]>dis1[now]+val2[i])
            {
                dis1[to2[i]]=dis1[now]+val2[i];
if(!vis[to2[i]])
                {
                    q.push(to2[i]);
                    vis[to2[i]]=true;
                }
            }
    }
}
void Astar()
{
if(dis1[s]>1e9) 
    {
        printf("-1");
return;
    }    
if(s==t) k++;
int cnt=0,last=-1;
    priority_queue<node>q;
    now.num=s;
    now.dis=0;
    q.push(now);
while(!q.empty())
    {
        now=q.top();
        q.pop();
if(now.num==t) 
        {
            cnt++;
if(cnt==k) 
            {
                printf("%d",now.dis);
return;
            }
        }
for(int i=front[now.num];i;i=nxt[i])
        {
            nt.num=to[i];
            nt.dis=now.dis+val[i];
            q.push(nt);
        }
    }
    printf("-1");
}
int main()
{
    init();
    spfa();
    Astar();
}

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2.4 最小生成树

2.4.1 prim

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[501][501],minn[501];
bool vis[501];
int main()
{
int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
int u,v,w;
    memset(a,63,sizeof(a));
while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
if(w<a[u][v]) a[u][v]=a[v][u]=w;
    }
    memset(minn,63,sizeof(minn));
    minn[1]=0;
int tmp,k,ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        tmp=2e9;
for(int j=1;j<=n;j++) 
if(!vis[j] && minn[j]<tmp) 
            {
                tmp=minn[j];
                k=j;
            }
        ans+=minn[k];
        vis[k]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!vis[j] && a[k][j]<minn[j]) minn[j]=a[k][j];
    }
    printf("%d",ans);
}

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2.4.2 Kruskal

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int fa[5001];
struct node
{
int u,v,w;
}e[200001];
bool cmp(node p,node q)
{
return p.w<q.w;
}
int find(int i) { return fa[i]==i ? i : fa[i]=find(fa[i]); }
int main()
{
int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
int tot=0;
int r1,r2,i=1,ans=0;
while(tot<n-1)
    {
        r1=find(e[i].u);
        r2=find(e[i].v);
if(r1!=r2) 
        {
            fa[r1]=r2;
            ans+=e[i].w;
            tot++;
        }
        i++; 
    }
    printf("%d",ans);
}

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2.5 最小树形图

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1005
#define M 10005
#define inf 2e9
using namespace std;
struct node
{
int u,v,w;
}e[M];
int in[N],pre[N],vis[N],col[N],id[N];
int n,m;
int directed_MST()
{
int tot=n+1,root=0,ans=0,cirnum=0,to;
while(1)
    {
for(int i=0;i<tot;i++) in[i]=inf; 
for(int i=1;i<=m;i++)
if(e[i].u!=e[i].v && in[e[i].v]>e[i].w) 
            {
in[e[i].v]=e[i].w;
                pre[e[i].v]=e[i].u;
            }
        cirnum=0;
        memset(vis,-1,sizeof(vis));
        memset(col,-1,sizeof(col));
in[root]=0;
for(int i=0;i<tot;i++)
        {
            ans+=in[i];
            to=i;
while(vis[to]!=i && col[to]==-1 && to!=root)
            {
                vis[to]=i;
                to=pre[to];
            }
if(to!=root && col[to]==-1)
            {
for(int nt=pre[to];nt!=to;nt=pre[nt])
                    col[nt]=cirnum;
                col[to]=cirnum++;
            }
        }
if(!cirnum) return ans;
for(int i=0;i<tot;i++) 
if(col[i]==-1) col[i]=cirnum++;
for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            to=e[i].v;
            e[i].u=col[e[i].u];
            e[i].v=col[e[i].v];
if(e[i].u!=e[i].v) e[i].w-=in[to];
        }
        tot=cirnum;
        root=col[root];
    }
return ans;
}
int main()
{
int tot;
int u,v,w,ans;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        tot=0;
while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
if(u!=v)
            {
                u++; v++;
                e[++tot].u=u; e[tot].v=v; e[tot].w=w;
            }
        }
        m=tot;
        ans=directed_MST();
        printf("%d",ans);
    }
}

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