10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?
解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨 $$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$$ 在条件 $$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$$ 下的最小最大值. 这个我已经注意到了, 不过叫我去做, 可能还是做不出来, 或者说做不全. 努力哦, 有了想法必须要去实现, 不然梦想终归是幻想. 参考 [X.Z. Zhan, Extremal numbers of positive entries of imprimitive nonnegative matrices, Linear Algebra Appl., 424 (2007), 132--138], 我们有非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数 $\sigma$ 的范围为 $$\bex k\leq 4\ra 2n-k\leq \sigma\leq \sez{\frac{n^2}{k}}; \eex$$ $$\bex k\geq 5\ra 2n-k\leq \sigma\leq 2n-k+\sez{\frac{(n-k)^2}{4}}. \eex$$