注:本篇笔记来源于《线性代数的本质》一课程。
写在前面
本课程主要通过几何来了解线性代数
1. 向量
对于向量有三种观点:
- 物理学
具有大小和方向 - 计算机
数组,列表 - 数学
概括前面两者,只要保证向量的加法和数乘有意义即可。
本课程由于是通过几何来了解,所以会通过坐标轴来表现向量,需要想象向量是空间中的箭头, 进一步就是向量是有序的数列 。
线性代数即围绕向量的加法和数乘展开。
1.1 加法
1.2 数乘
2.线性组合、张成的空间和基
2.1 基向量
在一个坐标系里,不用局限于这种x轴和y轴的基向量,也可以选择不同方向的基向量 ,但也意味着在相同坐标里,它们所表现出来的向量是不等价的。
2.2 线性组合
2.2.1 如何理解“线性”这个词?
2.3 张成的空间
以两个向量为例:
像在大部分的二维里,向量张成的空间是一个二维平面;
如果向量在同一条直线上,那么它们张成的空间也就是一条线。
2.4 线性相关
当一个向量的变化并不会影响其它向量张成的空间改变,即称为线性相关。(应该就是这个向量的变化一直出现在其它向量张成的空间里。)
当一个向量的变化会改变其它向量张成的空间,即称为线性无关。(这个向量的变化没有在其它向量张成的空间里。)
2.5 基的严格定义
3. 矩阵与线性变换
3.1 线性变换
就是一个向量通过变换输出成另外一个向量。(也就是把一个向量作为一个输入值,传给一个函数,然后输出另外一个向量)
这里变换跟函数是一个意思,用变换这个词能让我们从运动的角度来分析。
满足两个条件即可认为是线性变换:
3.2 如何用数值描述线性变换?
只需要记住两个基向量变换后的位置即可,其它向量都会随之移动。
也就是说,假定在原来的坐标(基向量为(1,0)和(0,1))里有一个向量(x , y),我们想知道它通过线性变换后,是会出现在什么位置?
那么就可以通过先知道变换后的基向量的位置(基向量变为(a,c)和(b,d)),再将基向量跟这个向量进行线性组合即可。
这种操作可以称为矩阵向量乘法。
4. 矩阵乘法与线性变换复合
多次变换(假设先旋转再剪切)后的矩阵其实也就是一个复合的矩阵。
可以看到这里的变换函数是从右往左添加,是因为函数的记号(记得我们在上面说变换即函数):
普适性地来看复合矩阵的计算:
把 左边矩阵 看作是 右边矩阵 变换后的 基向量。
这里不满足乘法交换律。
即先旋转再剪切 跟 先剪切再旋转 得到的效果是不一样的。
M1M2 ≠ M2M1
(这里有个地方是我一开始想不明白,就是我一开始对这个变换想成了是通过改变基向量来实现变换,但其实不对,基向量的改变是变换后的结果,而不是变换的原因。所以在用几何考虑变换的时候,不应该去改变基向量,而要考虑的是整个坐标的变换后,才去看基向量的改变结果)
符合乘法结合律。
(AB)C = ABC