[问题2014S01] 解答 因为 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 为 \(2\) 次 \(n\) 元对称多项式, 故 \[f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e,\] 其中 \(a,c,d,e\) 为实数且 \(a,c\) 中至少有一个非零.
根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 \(S\) 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 \(i\) 个方程是 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 关于未定元 \(x_i\) 的导数: \[\begin{cases} 2ax_1+2cx_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ 2cx_1+2ax_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 2cx_1+2cx_2+\cdots+2ax_n=-d. \end{cases} \]
上述线性方程组系数矩阵 \(A\) 的行列式值为: \[ |A|=\begin{vmatrix} 2a & 2c & \cdots & 2c \\ 2c & 2a & \cdots & 2c \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2c & 2c & \cdots & 2a \end{vmatrix}=2^n\Big(a+(n-1)c\Big)(a-c)^{n-1}. \]
(1) 若 \(a=c\), 则 \[f=a\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)^2+d\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)+e,\] 此时能取到最值的点有无穷多个, 这与 \(S\) 是有限集合矛盾.
(2) 若 \(a+(n-1)c=0\), 即 \(a=-(n-1)c\), 则 \[f=-c\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2+d\sum_{i=1}^nx_i+e.\] 若 \(d\neq 0\), 当 \(x_1=x_2=\cdots=x_n\) 时, \(f\) 的取值可以充分大和充分小, 从而 \(f\) 没有最值, 这与 \(S\) 是非空集合矛盾; 若 \(d=0\), 当 \(x_1=x_2=\cdots=x_n\) 时, \(f\) 有最值 \(e\), 但这与 \(S\) 是有限集合矛盾.
综上 \(|A|\neq 0\), 即 \(A\) 是非异阵. 容易验证 \[A\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}=2\Big(a+(n-1)c\Big)\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix},\,\,A^{-1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{2\Big(a+(n-1)c\Big)}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.\]
于是 \(S\) 中只有一个点, 其坐标满足: \[\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}-d\\ -d\\ \vdots \\ -d \end{bmatrix}=\frac{-d}{2\Big(a+(n-1)c\Big)}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.\quad\Box\]
通过上述问题的解答, 事实上我们还可以得到进一步的结论.
加强结论 设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合. 假设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是关于未定元 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的对称多项式并且 \(S\) 为非空集合, 则存在 \(b\in\mathbb{R}\) 使得 \((b,b,\cdots,b)\in S.\)
我们还可以提出下面更一般的问题 (我不知道答案, 请有兴趣的同学自己探索):
问题 设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 \(2m\) 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合. 假设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是关于未定元 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的对称多项式并且 \(S\) 为非空集合, 问: 是否存在 \(b\in\mathbb{R}\) 使得 \((b,b,\cdots,b)\in S？\)