【Tsinsen-A1486】树（王康宁） 点分治 + Trie

A1486. 树（王康宁）

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试题来源

　　2013中国国家集训队第二次作业

问题描述

　　给出一棵N个点的树，每个点有各自的权值，小A想选出一条简单路径，使得这条路径上的点的权值的异或和最大。另外，小A有一些喜欢的点，他希望在这条路径上经过至少K个自己喜欢的点。

输入格式

　　第一行包括两个整数N, K，分别表示树的点数和路径上至少包含的小A喜欢的点的数量。
　　接下来一行N个整数，每个数均为0或1，小A喜欢第i个点当且仅当这一行的第i个数是1。
　　接下来一行N个整数V₁, V₂, …, V_N，其中第i个数表示第i个点的权值。
　　最后N-1行，每行两个整数u, v，表示树的一条边。

输出格式

　　如果不存在这样的简单路径，输出-1。否则输出最大的异或和。

样例输入

3 1
1 1 1
0 4 7
1 2
2 3

样例输出

7

样例输入

3 2
1 0 1
3 5 6
1 2
2 3

样例输出

样例输入

4 4
1 1 1 1
10 10 10 10
1 2
1 3
1 4

样例输出

-1

数据规模和约定

测试点标号	N的范围	K的范围	Vi的范围	其它特点
1	N=2	K=0
2	N≤10
3	N≤1000			这棵树是一条链
4	N≤1000	K=0		这棵树是一条链
5	N≤4000
6	N≤30000	K=0	Vi≤7
7	N≤40000	K=0
8	N≤40000	K=0
9	N≤50000	K=0		这棵树是一条链
10	N≤50000	K=0
11	N≤60000		Vi≤7
12	N≤60000			这棵树是一条链
13	N≤70000		Vi≤107
14	N≤70000		Vi≤107
15	N≤80000
16	N≤80000
17	N≤90000
18	N≤90000
19	N≤100000
20	N≤100000

　　对于100%的数据，1≤N≤100000, 0≤K≤N, 0≤V_i≤10⁹, 保证输入的是一棵合法的树.

Solution

这道题，先考虑弱化版本..

如果$K=0$不考虑经过关键点的数量，非常简单。

可以直接从根dfs一遍得到到所有节点的xor和，然后全部插入Trie中，再枚举每个点贪心在Trie上跑即可，复杂度$O(NlogN)$。

但是这个题需要限制经过节点数，就必须点分治+Trie贪心，时间复杂度$O(Nlog^{2}N)$。

最普通的想法就是对于经过不同的关键点的路径xor和分别建一棵Trie树，然后查询的时候查询即可，但是$K$上限过大。

所以考虑维护一棵Trie树，在每个节点上维护一下经过的关键点数，在贪心统计答案的时候处理一下即可。

这里有一个问题，就是处理一棵子树的时候，最顶部的节点会重复计算，所以可以考虑先不计算它的影响，在统计答案的时候再计算回来。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
}
#define MAXN 100010

int N,K,lov[MAXN],c[MAXN],ans=-1;

struct EdgeNode{
	int next,to;
}edge[MAXN<<1];
int head[MAXN],cnt=1;
inline void AddEdge(int u,int v) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v;}
inline void InsertEdge(int u,int v) {AddEdge(u,v); AddEdge(v,u);}

namespace Trie{
	int son[MAXN][2],sz,d[MAXN];
	int s[32];
	inline void Calc(int x) {memset(s,0,sizeof(s)); for (int t=31; t>=0; t--) s[t]=(x>>t)&1;}
	inline void Clear() {son[1][0]=son[1][1]=0; sz=1;}
	inline void Insert(int x,int dep)
	{
		int now=1;
		Calc(x);
		for (int i=31; i>=0; i--)
			if (son[now][s[i]]) now=son[now][s[i]],d[now]=max(d[now],dep);
				else son[now][s[i]]=++sz,now=sz,son[now][1]=son[now][0]=0,d[now]=dep;
	}
	inline int Query(int x,int dep)
	{
		int now=1,mx=0;
		Calc(x);
		for (int i=31; i>=0; i--) {
			if (son[now][s[i]^1] && d[son[now][s[i]^1]]>=dep) now=son[now][s[i]^1],mx|=(1<<i);
				else if (son[now][s[i]] && d[son[now][s[i]]]>=dep) now=son[now][s[i]];
					else return -1;
		}
		return mx;
	}
}using namespace Trie;

namespace TreeDivide{
	int size[MAXN],mx[MAXN],Sz,root;
	bool visit[MAXN];
	struct Node{
		int x,y;
		Node (int X=0,int Y=0) {x=X,y=Y;}
	}stack[MAXN];
	int top;
	inline void Getroot(int now,int last)
	{
		size[now]=1,mx[now]=0;
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to]) {
				Getroot(edge[i].to,now);
				size[now]+=size[edge[i].to];
				mx[now]=max(mx[now],size[edge[i].to]);
			}
		mx[now]=max(mx[now],Sz-size[now]);
		if (mx[now]<mx[root]) root=now;
	}
	inline void DFS(int now,int last,int dep,int val,int fav)
	{
		ans=max(ans,Query(val^fav,K-dep));
		stack[++top]=Node(val,dep);
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (edge[i].to!=last && !visit[edge[i].to]) {
				DFS(edge[i].to,now,dep+lov[edge[i].to],val^c[edge[i].to],fav);
			}
	}
	inline void Divide(int now)
	{
//		printf("root=%d\n",now);
		visit[now]=1;
		Trie::Clear();
		K-=lov[now];
		if (K<=0) ans=max(ans,c[now]);
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (!visit[edge[i].to]) {
				top=0;
				DFS(edge[i].to,now,lov[edge[i].to],c[edge[i].to],c[now]);
				for (int j=1; j<=top; j++)
					Trie::Insert(stack[j].x,stack[j].y);
			}
		K+=lov[now];
		for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
			if (!visit[edge[i].to]) {
				root=0;
				Sz=size[edge[i].to];
				Getroot(edge[i].to,now);
				Divide(root);
			}
	}
}using namespace TreeDivide;

int main()
{
	N=read(),K=read();
	for (int i=1; i<=N; i++) lov[i]=read();
	for (int i=1; i<=N; i++) c[i]=read();
	for (int i=1,x,y; i<=N-1; i++) x=read(),y=read(),InsertEdge(x,y);
	mx[root=0]=Sz=N;
	Getroot(1,0);
	Divide(root);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}