《sicp》八皇后谜题
书中练习2.42.八皇后谜题问的是如何将八个皇后摆在国际象棋棋盘上,使得任意一个皇后都不能攻击另一个皇后(也就是说任意两个皇后都不能在同一行,同一列和同一对角线上).
解题思想
递归加模块化设计程序
递归:解决这一谜题,可以使用递归的方法,每次在一列中放置一个皇后.
- 1.已经放置好了前k-1列的所有皇后.
- 2.第k列处理方法:
- 1.将第k列的每一行都放置一个皇后.
- 2.将第k列不满足条件的皇后过滤掉.
数据结构
每一个具体的解法用列表表示.列表的第一个元素表示第 8 列的皇后所在的行，而列表的第二个元素表示第 7 列的皇后所在的行，以此类推。
例如
可以表示为 (list 6 3 1 7 5 8 2 4) 。
所有解法综合起来采用二维列表表示.(list (list 6 3 1 7 5 8 2 4) (list ...) (list ...) ...).
列表内的每一个列表都代表一个具体的解法.
scheme程序
程序框架
(define (queens board-size)
(define (queen-cols k)
(if (= k 0)
(list empty-board)
(filter
(lambda (positions) (safe? k positions))
(flatmap
(lambda (rest-of-queens)
(map (lambda (new-row)
(adjoin-position new-row k rest-of-queens))
(enumerate-interval 1 board-size)))
(queen-cols (- k 1))))))
(queen-cols board-size))
其中:
queen-cols返回在棋盘前k列放置皇后的所有格局的序列
filter是过滤掉不符合条件的解法
flatmap是在前k-1列已放好的格局中,将第k列的每一个行中放入一个皇后
rest-of-queens是在前k-1列放置k-1个皇后的一种方式
过滤方式
前k-1列已经放置好,所以只需检验第k行是否满足.
从第k-1行开始,一行一行的检验三个条件,假设第i列的皇后放置位置为(i,y1),第k列的皇后放置为(k,y2)
1.不在同一列,这个肯定满足,无需检验
2.不在同一行,取出当前列的放置行数和第k列的放置行数相比,看是否相等,即y1 =? y2
3.不在同一对角线上,分为两种情况,1:对角线斜率为1,做出过(i,y1)的斜率为1的直线,看与直线x=k,交点是否为(k,y2),如是,则不满足条件,2:斜率为-1,同上
总程序
(define (filter predicate sequence)
(cond ((null? sequence) '())
((predicate (car sequence)) (cons (car sequence) (filter predicate (cdr sequence))))
(else (filter predicate (cdr sequence)))))
(define ( accumulate op initial sequence)
(if (null? sequence)
initial
(op (car sequence) (accumulate op initial (cdr sequence)))))
(define (flatmap proc seq)
(accumulate append '() (map proc seq)))
(define (enumerate-interval low high)
(if (> low high)
'()
(cons low (enumerate-interval (+ low 1) high))))
(define empty-board '())
(define (safe? k positions)
(define (noconflict? pk x list)
(cond ((= x 0 ) #t)
((or (= pk (car list)) (= pk ( + k (- (car list) x))) (= pk ( - ( + (car list) x) k ))) #f)
(else (noconflict? pk (- x 1) (cdr list)))))
(noconflict? (car positions) (- k 1) (cdr positions)))
(define (adjoin-position new-row k rest-of-queens)
(cons new-row rest-of-queens))
(define (queens board-size)
(define (queen-cols k)
(if (= k 0)
(list empty-board)
(filter
(lambda (positions) (safe? k positions))
(flatmap
(lambda (rest-of-queens)
(map (lambda (new-row)
(adjoin-position new-row k rest-of-queens))
(enumerate-interval 1 board-size)))
(queen-cols (- k 1))))))
(queen-cols board-size))
结果
1 ]=> (for-each (lambda (pos)
(begin
(display pos)
(newline)))
(queens 8))
(4 2 7 3 6 8 5 1)
(5 2 4 7 3 8 6 1)
(3 5 2 8 6 4 7 1)
(3 6 4 2 8 5 7 1)
(5 7 1 3 8 6 4 2)
(4 6 8 3 1 7 5 2)
(3 6 8 1 4 7 5 2)
(5 3 8 4 7 1 6 2)
(5 7 4 1 3 8 6 2)
(4 1 5 8 6 3 7 2)
(3 6 4 1 8 5 7 2)
(4 7 5 3 1 6 8 2)
(6 4 2 8 5 7 1 3)
(6 4 7 1 8 2 5 3)
(1 7 4 6 8 2 5 3)
(6 8 2 4 1 7 5 3)
(6 2 7 1 4 8 5 3)
(4 7 1 8 5 2 6 3)
(5 8 4 1 7 2 6 3)
(4 8 1 5 7 2 6 3)
(2 7 5 8 1 4 6 3)
(1 7 5 8 2 4 6 3)
(2 5 7 4 1 8 6 3)
(4 2 7 5 1 8 6 3)
(5 7 1 4 2 8 6 3)
(6 4 1 5 8 2 7 3)
(5 1 4 6 8 2 7 3)
(5 2 6 1 7 4 8 3)
(6 3 7 2 8 5 1 4)
(2 7 3 6 8 5 1 4)
(7 3 1 6 8 5 2 4)
(5 1 8 6 3 7 2 4)
(1 5 8 6 3 7 2 4)
(3 6 8 1 5 7 2 4)
(6 3 1 7 5 8 2 4)
(7 5 3 1 6 8 2 4)
(7 3 8 2 5 1 6 4)
(5 3 1 7 2 8 6 4)
(2 5 7 1 3 8 6 4)
(3 6 2 5 8 1 7 4)
(6 1 5 2 8 3 7 4)
(8 3 1 6 2 5 7 4)
(2 8 6 1 3 5 7 4)
(5 7 2 6 3 1 8 4)
(3 6 2 7 5 1 8 4)
(6 2 7 1 3 5 8 4)
(3 7 2 8 6 4 1 5)
(6 3 7 2 4 8 1 5)
(4 2 7 3 6 8 1 5)
(7 1 3 8 6 4 2 5)
(1 6 8 3 7 4 2 5)
(3 8 4 7 1 6 2 5)
(6 3 7 4 1 8 2 5)
(7 4 2 8 6 1 3 5)
(4 6 8 2 7 1 3 5)
(2 6 1 7 4 8 3 5)
(2 4 6 8 3 1 7 5)
(3 6 8 2 4 1 7 5)
(6 3 1 8 4 2 7 5)
(8 4 1 3 6 2 7 5)
(4 8 1 3 6 2 7 5)
(2 6 8 3 1 4 7 5)
(7 2 6 3 1 4 8 5)
(3 6 2 7 1 4 8 5)
(4 7 3 8 2 5 1 6)
(4 8 5 3 1 7 2 6)
(3 5 8 4 1 7 2 6)
(4 2 8 5 7 1 3 6)
(5 7 2 4 8 1 3 6)
(7 4 2 5 8 1 3 6)
(8 2 4 1 7 5 3 6)
(7 2 4 1 8 5 3 6)
(5 1 8 4 2 7 3 6)
(4 1 5 8 2 7 3 6)
(5 2 8 1 4 7 3 6)
(3 7 2 8 5 1 4 6)
(3 1 7 5 8 2 4 6)
(8 2 5 3 1 7 4 6)
(3 5 2 8 1 7 4 6)
(3 5 7 1 4 2 8 6)
(5 2 4 6 8 3 1 7)
(6 3 5 8 1 4 2 7)
(5 8 4 1 3 6 2 7)
(4 2 5 8 6 1 3 7)
(4 6 1 5 2 8 3 7)
(6 3 1 8 5 2 4 7)
(5 3 1 6 8 2 4 7)
(4 2 8 6 1 3 5 7)
(6 3 5 7 1 4 2 8)
(6 4 7 1 3 5 2 8)
(4 7 5 2 6 1 3 8)
(5 7 2 6 3 1 4 8)