玉伯的一道课后题题解（关于 IEEE 754 双精度浮点型精度损失）

时间：2024-04-26 12:35:21

前文 的最后给出了玉伯的一道课后题，今天我们来讲讲这题的思路。

题目是这样的：

Number.MAX_VALUE + 1 == Number.MAX_VALUE;
Number.MAX_VALUE + 2 == Number.MAX_VALUE;
...
Number.MAX_VALUE + x == Number.MAX_VALUE;
Number.MAX_VALUE + x + 1 == Infinity;
...
Number.MAX_VALUE + Number.MAX_VALUE == Infinity;

// 问题：
// 1. x 的值是什么？
// 2. Infinity - Number.MAX_VALUE == x + 1; 是 true 还是 false ?

如果考虑浮点数的精度问题，那么 x 无解。推理很简单，根据 Number.MAX_VALUE + x == Number.MAX_VALUE 和 Number.MAX_VALUE + x + 1 == Infinity 可以推得 Number.MAX_VALUE + 1 == Infinity ，显然这是不成立的，所以 x 无解。

但是显然玉伯这里不希望我们考虑精度损失问题。

我们先来看 Number.MAX_VALUE，在前面的文章中我们已经给出了它的值为：

1 * (Math.pow(2, 53) - 1) * Math.pow(2, 971) = 1.7976931348623157e+308

我们用二进制可以这样表示：

1 1 1 1 .. (53个1) .. 1 1 1   0 0 0 0 .. (971个0) .. 0 0 0 0

53 个 1 的 第一位是隐藏位（hidden bit），后 52 位即为 m（参照 前文 中对 m 的解释，e 同），而 971 个 0 即代表了指数 e（当然实际存储中 e 并不是这样表示的）。

接着我们把这个数加上 1，如果我们把这个数用二进制表示，可以表示为：

1 1 1 1 .. 53个1 .. 1 1 1   0 0 0 0 .. 970个0 .. 0 0 0 1

如果我们把该数用 IEEE 754 双精度浮点型表示出来，m 并不会有什么变化，因为 m 控制了这个数的精度，m 只能有 52 位，而加上的 1 对于这个大数字来说实在太微不足道！结果还是 Number.MAX_VALUE。

那么加上个什么数之后会引起质变呢？答案是 2 ^ 970，因为加上这个数之后，我们用二进制表示：

1 1 1 1 .. 53个1 .. 1 1 1   1 0 0 0 .. 970个0 .. 0 0 0 0

而该数用 IEEE 754 双精度浮点型表示时，由于 第 52 位 和 53 位同时为 1，所以会进位（Ties To Even），于是这个数变为了 Infinity。

那么 Number.MAX_VALUE + x == Number.MAX_VALUE 的解集似乎就呼之欲出了，x 的范围是 [0, 2 ^ 970)，即[0, 2 ^ 970 - 1]（如果考虑精度丢失的话，这个解集会是 [0, 2 ^ 970 - 2 ^ (970 - 53)]）。

于是问题演变成 Number.MAX_VALUE + y == Infinity，而 y 的取值是 [1, 2 ^ 970]，求 y。

前面已经说了当 y 为 2 ^ 970 时才会发生质变，所以可求得 x 为 2 ^ 970 - 1。如果把 Number.MAX_VALUE 用 0xfffffffffffff8000... 来表示的话，那么这个数可以用 0x0000000000003ffff... 来表示。

问题 2 就很简单了，因为 Infinity - Number.MAX_VALUE 还是等于 Infinity，而 x + 1 还是等于 x，显然不会达到 Infinity。

我们可以看下玉伯在评论区给出的答复：

Number.MAX_VALUE.toString(16) = ”
fffffffffffff800000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000″

前面有 13 个 f, 二进制就是 52 个 1
还有一个 8, 二进制是 1000
也就是说，前面 53 位都是 1

这样，当 Number.MAX_VALUE + 1 时，1 替代最后一个 0，但 IEEE 754 双精度浮点数的 m 最大为 53（含隐藏位），因此添加的 1 在存储时会被舍弃掉，所以：

Number.MAX_VALUE + 1 == Number.MAX_VALUE

同理类推，当 8（1000） 变成 b（1011），b 后面的位取最大值时，依旧有：

0xfffffffffffffbfffffffffffffffffffffffffffffffffffff
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff == Number.MAX_VALUE

进一步，当 再增 1, b 变成 c 时，将发生质变：

0xfffffffffffffc00000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000 == Infinity

这是因为前面将有 54 个连续的 1, 在存储时，exponent 将由
971 变成 972, 超出了 IEEE 754 双精度浮点数存储格式中 e 的
最大值，因此质变为 Infinity 了。

这样，题目中 x 的值就很容易得到了：

x = 0xfffffffffffffbffff… – 0xfffffffffffff80000…
= 0x00000000000003ffff…

注意这个数在IEEE 754 双精度浮点数格式下无法精确存储。

还能得到两个有趣的结论：

1. Number.MAX_VALUE 不是一个数，而是一个区间 [0xfffffffffffff80000…, 0xfffffffffffffc0000…)
2. Infinity 指的是，所有大于等于 0xfffffffffffffc0000… 的数。

最后我们再总结几条有趣的规律：

  • Javascript 能精确保存的最大整数为 2 ^ 53，即为 9007199254740992，当 x 大于等于 9007199254740992时，x === x + 1。Javascript 能精确表示的整数的范围是 [- 2 ^ 53, 2 ^ 53]
  • Number.MAX_VALUE 不是一个数，而是一个区间 [0xfffffffffffff80000…, 0xfffffffffffffc0000…) 任何大于等于 9007199254740992 的数都是一个区间，没有丢失精度的数只是区间中的一个数。"我不是一个数，是一堆数⋯⋯"
  • Infinity 指的是，所有大于等于 0xfffffffffffffc0000… 的数

2015-12-25 update：

Javascript 能精确表示的数的范围是 (-2^53, 2^53)，而不是文中所说的 [-2^53, 2^53]。这里能精确表示的意思是，只有一个数能对应该数。

为什么 2^53 不能精确表示？ 2^53=9007199254740992，而在 Javascript 中 9007199254740993 也表示成 9007199254740992，所以如果在运算中出现 9007199254740992，是无法确定原数的（两种可能）。

我们可以用 Number.MIN_SAFE_INTEGER 和 Number.MAX_SAFE_INTEGER 来表示最小以及最大能精确表示的数，并能用 Number.isSafeInteger() 来检查一个数是否能精确表示。

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